Fiche de révision : Manipuler les nombres réels

📋 Plan du Cours

1. Ensembles naturels et relatifs
2. Nombres décimaux et rationnels
3. Nombres irrationnels et réels
4. Encadrement et arrondi
5. Intervalles de la droite réelle
6. Intersection et réunion

📖 1. Ensembles naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres entiers naturels : Ensemble des nombres positifs qui permettent de compter une collection d’objets, avec N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; …}.
• Nombres entiers relatifs : Ensemble des nombres entiers naturels et de leurs opposés.

📝 Points essentiels

📌 L’ensemble des nombres naturels est inclus dans l’ensemble des nombres entiers relatifs, ce qui se note N ⊂ Z.

💡 Astuce mémo

N contient les naturels positifs et Z ajoute leurs opposés

📖 2. Nombres décimaux et rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Ensemble des nombres dont l’écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres non nuls après la virgule.
• Nombres rationnels : Ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$, où a et b sont des entiers relatifs et b est différent de 0.

★ À maîtriser

📐 Formule — Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où a est un entier relatif et n un entier naturel.

📌 Un nombre rationnel possède soit une écriture décimale finie, soit une écriture décimale illimitée comportant une période.

Compléments

• Le nombre 3254/990 est rationnel mais pas décimal, car son écriture décimale 3,286868686... comporte la période 86.

• Le nombre 1/3 n’est pas décimal, car supposer 1/3 = a/10^n conduit à a = 10^n/3, qui n’est pas un entier puisque 10^n n’est pas divisible par 3.

💡 Astuce mémo

D s’écrit avec 10, Q s’écrit avec a/b

📖 3. Nombres irrationnels et réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Ensemble de tous les nombres rationnels et irrationnels.
• Ensembles particuliers : N* désigne les entiers naturels privés de zéro, D− les décimaux négatifs, Q+ les rationnels positifs, R+* les réels strictement positifs, et R − {2 ; 5} les réels différents de 2 et de 5.

📝 Points essentiels

📌 Les ensembles de nombres vérifient les inclusions N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

• Chaque point d’une droite graduée est associé à un unique nombre réel appelé son abscisse, et chaque nombre réel correspond à un unique point de cette droite.

💡 Astuce mémo

La droite numérique rassemble tous les rationnels et les irrationnels

📖 4. Encadrement et arrondi

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement : Trouver deux nombres a et b tels que a < x < b.
• Arrondi : Trouver la valeur la plus proche à une précision donnée.

★ À maîtriser

• L’amplitude de l’encadrement a < x < b est la différence $b-a$.

Compléments

• L’inégalité 3,1 < π < 3,2 est un encadrement de π d’amplitude 10^-1, et 3,1 est son arrondi à 10^-1.

💡 Astuce mémo

Encadrer donne deux bornes, arrondir donne la valeur la plus proche

📖 5. Intervalles de la droite réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Ensemble des réels compris entre a et b, avec a et b inclus ; a et b sont ses bornes.

★ À maîtriser

📌 Dans un intervalle, une borne finie est incluse si le crochet est tourné vers l’intérieur et exclue si le crochet est tourné vers l’extérieur, tandis que l’infini est toujours exclu.

Compléments

• Les intervalles usuels vérifient R = ]−∞ ; +∞[, R+ = [0 ; +∞[, R− = ]−∞ ; 0] et R+* = ]0 ; +∞[.

📌 L’équivalence −2 ≤ x ≤ 3 ⇔ x ∈ [−2 ; 3] traduit une même condition sous forme d’inégalité ou d’appartenance à un intervalle.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé signifie borne incluse, crochet ouvert signifie borne exclue

📖 6. Intersection et réunion

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des réels appartenant à I et à J, noté I ∩ J.
• Réunion : Ensemble des réels appartenant à I ou à J, noté I ∪ J.

📝 Points essentiels

• L’intersection [1 ; 3] ∩ ]2 ; +∞[ est ]2 ; 3].

• La réunion [1 ; 3] ∪ [2 ; 5] est [1 ; 5].

💡 Astuce mémo

L’intersection correspond à « et », la réunion à « ou »

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles numériques

Types d’intervalles bornés