QCM : Manipuler les nombres réels — 17 questions

Question 1

1. Quel ensemble contient les nombres utilisés pour compter, en incluant zéro ?

L’ensemble des fractions dont le dénominateur est non nul

L’ensemble des nombres à écriture décimale finie

L’ensemble des entiers relatifs positifs et négatifs

L’ensemble

\mathbb{N} = \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \ldots\}

Explication

Les entiers naturels servent à compter et comprennent zéro selon la définition donnée. Les entiers relatifs incluent aussi les opposés négatifs, ce qui les distingue de cet ensemble.

Answer

L’ensemble $$\mathbb{N} = \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \ldots\}$$

Question 2

2. Quelle description définit correctement l’ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ ?

Les entiers naturels et leurs opposés

Les nombres réels dépourvus de partie décimale

Les fractions d’entiers à dénominateur non nul

Les nombres décimaux à écriture finie

Explication

$\mathbb{Z}$ regroupe les entiers naturels ainsi que leurs opposés, comme $-1$ , $-2$ et ainsi de suite. Les nombres décimaux et les fractions forment des ensembles plus larges que celui des entiers relatifs.

Answer

Les entiers naturels et leurs opposés

Question 3

3. Que signifie l’écriture $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ ?

Le nombre naturel

\mathbb{N}

appartient à l’ensemble des entiers relatifs

Chaque nombre naturel appartient à l’ensemble des entiers relatifs

Chaque entier relatif appartient à l’ensemble des nombres naturels

Le nombre

2

est un sous-ensemble des entiers relatifs

Explication

L’inclusion $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ indique que tous les nombres naturels sont contenus dans l’ensemble des entiers relatifs. Une notation comme $2 \in \mathbb{Z}$ relie en revanche un élément à un ensemble.

Answer

Chaque nombre naturel appartient à l’ensemble des entiers relatifs

Question 4

4. Quelle propriété caractérise un nombre décimal ?

Son écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres non nuls après la virgule

Il s’écrit comme une fraction de deux entiers avec un dénominateur non nul

Il appartient à l’ensemble des nombres irrationnels

Son écriture décimale comporte une période qui se répète indéfiniment

Explication

Un nombre décimal possède une écriture décimale comportant un nombre fini de chiffres non nuls après la virgule. Une écriture périodique illimitée caractérise plutôt certains nombres rationnels non décimaux.

Answer

Son écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres non nuls après la virgule

Question 5

5. Laquelle des écritures suivantes respecte la forme d’un nombre décimal ?

\frac{a}{b}

avec

a \in \mathbb{Z}

et

b \in \mathbb{Z}

\frac{a}{\sqrt{b}}

avec

a \in \mathbb{Z}

et

b \in \mathbb{N}

\frac{a}{10^n}

avec

a \in \mathbb{Z}

et

n \in \mathbb{N}

\frac{a}{3^n}

avec

a \in \mathbb{Z}

et

n \in \mathbb{N}

Explication

Tout nombre décimal peut s’écrire avec une puissance de dix au dénominateur, sous la forme $\frac{a}{10^n}$ . La forme $\frac{a}{b}$ décrit plus largement les nombres rationnels sans imposer un dénominateur puissance de dix.

Answer

$$\frac{a}{10^n}$$ avec $$a \in \mathbb{Z}$$ et $$n \in \mathbb{N}$$

Question 6

6. Quelle condition caractérise un nombre rationnel ?

Il ne peut pas s’écrire comme quotient de deux nombres entiers

Il peut s’écrire

\frac{a}{b}

avec

a,b \in \mathbb{Z}

et

b \neq 0

Il possède une écriture décimale illimitée dépourvue de période

Il possède une écriture décimale finie avec un dénominateur égal à

10^n

Explication

Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers, avec un dénominateur différent de zéro. Une écriture décimale illimitée sans période correspond au contraire à un nombre irrationnel.

Answer

Il peut s’écrire $$\frac{a}{b}$$ avec $$a,b \in \mathbb{Z}$$ et $$b \neq 0$$

Question 7

7. Quelle affirmation décrit les possibilités d’écriture décimale d’un nombre rationnel ?

Elle ne comporte jamais de chiffres après la virgule

Elle est toujours illimitée et sans période

Elle est finie ou illimitée avec une période

Elle est toujours finie après la virgule

Explication

Un rationnel possède soit une écriture décimale finie, soit une écriture illimitée périodique. Une écriture illimitée sans période n’est pas celle d’un nombre rationnel.

Answer

Elle est finie ou illimitée avec une période

Question 8

8. Comment définit-on l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ ?

L’ensemble des nombres naturels et de leurs opposés

L’ensemble des nombres ayant une écriture décimale finie

L’ensemble de tous les nombres rationnels et irrationnels

L’ensemble des fractions dont le dénominateur est une puissance de dix

Explication

Les réels regroupent les nombres rationnels et les nombres irrationnels. Les autres descriptions correspondent à des ensembles plus restreints, comme les naturels ou les décimaux.

Answer

L’ensemble de tous les nombres rationnels et irrationnels

Question 9

9. Quelle chaîne d’inclusions entre les ensembles de nombres est correcte ?

\mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{D}

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

\mathbb{N} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Q}

\mathbb{R} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{N}

Explication

Les naturels sont inclus dans les relatifs, eux-mêmes inclus dans les décimaux, puis dans les rationnels et enfin dans les réels. En particulier, $\mathbb{D}$ est inclus dans $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ .

Answer

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

Question 10

10. Quelle correspondance existe entre une droite graduée et les nombres réels ?

La droite graduée représente les nombres naturels, entiers et rationnels, mais pas les autres réels

Chaque point correspond à une unique abscisse réelle, et chaque réel à un unique point

Les abscisses réelles sont associées aux points selon leur écriture décimale finie

Chaque point correspond à plusieurs abscisses réelles, tandis qu’un réel peut avoir plusieurs points

Explication

La droite graduée établit une correspondance biunivoque entre ses points et les nombres réels. Elle représente donc aussi les réels irrationnels, qui ne possèdent pas d’écriture décimale finie.

Answer

Chaque point correspond à une unique abscisse réelle, et chaque réel à un unique point

Question 11

11. Que signifie encadrer un nombre réel $x$ ?

Comparer

x

à deux nombres égaux de part et d’autre

Trouver une valeur unique proche de

x

à une précision donnée

Écrire

x

comme la différence de deux nombres positifs

Trouver deux nombres

a

et

b

tels que

a < x < b

Explication

Un encadrement place le nombre $x$ entre deux bornes distinctes selon l’inégalité $a < x < b$ . Une valeur proche de $x$ correspond plutôt à un arrondi, et non à un encadrement.

Answer

Trouver deux nombres $$a$$ et $$b$$ tels que $$a < x < b$$

Question 12

12. Quelle expression donne l’amplitude de l’encadrement $a < x < b$ ?

a+b

x+b

x-a

b-a

Explication

L’amplitude mesure la distance entre les deux bornes et vaut donc $b-a$ . Les nombres $a$ et $b$ sont les bornes, tandis que l’amplitude est leur différence.

Answer

L’arrondi fournit une valeur proche, tandis que l’encadrement fournit deux bornes liées par une inégalité

Answer

Les réels compris entre $$a$$ et $$b$$, bornes incluses

Answer

Une borne finie dépend de l’orientation du crochet, tandis que l’infini est exclu

Answer

Les réels qui appartiennent à la fois à $$I$$ et à $$J$$

Answer

$$I \cup J$$, pour les réels appartenant à $$I$$ ou à $$J$$

Question 13

13. Quelle différence distingue un arrondi d’un encadrement ?

L’arrondi donne une amplitude, tandis que l’encadrement donne une valeur exacte

L’arrondi fournit une valeur proche, tandis que l’encadrement fournit deux bornes liées par une inégalité

L’arrondi compare deux nombres, tandis que l’encadrement remplace le nombre par une fraction

L’arrondi fournit deux bornes, tandis que l’encadrement fournit une valeur proche

Explication

Arrondir consiste à choisir la valeur la plus proche à une précision donnée, alors qu’encadrer consiste à situer un nombre entre deux bornes. Confondre ces notions revient à remplacer une inégalité par une valeur approchée unique.

Question 14

14. Quel ensemble représente l’intervalle fermé $[a \,;\, b]$ ?

Les réels compris entre

a

et

b

, bornes incluses

Les réels inférieurs à

a

ou supérieurs à

b

Les réels compris entre

a

et

b

, bornes exclues

Les réels strictement compris entre

a

et

b

, avec une seule borne incluse

Explication

Les crochets de $[a \,;\, b]$ indiquent que les deux bornes appartiennent à l’intervalle. Les bornes seraient exclues dans l’intervalle ouvert $]a \,;\, b[$ .

Question 15

15. Comment sont traitées les bornes dans un intervalle de la droite réelle ?

Une borne finie dépend de l’orientation du crochet, tandis que l’infini est exclu

Une borne finie est toujours incluse, tandis que l’infini est inclus avec un crochet fermé

Les bornes finies et infinies sont incluses lorsque le crochet est tourné vers l’intérieur

Une borne finie est toujours exclue, tandis que l’infini dépend du crochet utilisé

Explication

Pour une borne finie, un crochet tourné vers l’intérieur signifie qu’elle est incluse, et un crochet tourné vers l’extérieur qu’elle est exclue. Les symboles $+\infty$ et $-\infty$ ne représentent pas des nombres appartenant à l’intervalle.

Question 16

16. Que contient l’intersection de deux intervalles $I$ et $J$ ?

Les réels qui appartiennent à

I

ou à

J

Les réels situés entre les bornes les plus éloignées de

I

et de

J

Les réels qui appartiennent à la fois à

I

et à

J

Les réels qui n’appartiennent ni à

I

ni à

J

Explication

L’intersection $I \cap J$ regroupe les nombres communs aux deux intervalles, ce qui correspond à la condition « et ». La condition « ou » décrit la réunion, notée $I \cup J$ .

Question 17

17. Quelle notation et quelle condition caractérisent la réunion de deux intervalles $I$ et $J$ ?

I \cap J

, pour les réels appartenant à

I

et à

J

I \cup J

, pour les réels appartenant à

I

ou à

J

I \cup J

, pour les réels appartenant simultanément aux deux intervalles

I \cap J

, pour les réels appartenant à l’un des deux intervalles

Explication

La réunion se note $I \cup J$ et accepte les réels appartenant à l’un ou l’autre des intervalles. L’intersection se note $I \cap J$ et exige une appartenance simultanée.

QCM : Manipuler les nombres réels — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel ensemble contient les nombres utilisés pour compter, en incluant zéro ?

2. Quelle description définit correctement l’ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ ?

3. Que signifie l’écriture $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ ?

4. Quelle propriété caractérise un nombre décimal ?

5. Laquelle des écritures suivantes respecte la forme d’un nombre décimal ?

6. Quelle condition caractérise un nombre rationnel ?

7. Quelle affirmation décrit les possibilités d’écriture décimale d’un nombre rationnel ?

8. Comment définit-on l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ ?

9. Quelle chaîne d’inclusions entre les ensembles de nombres est correcte ?

10. Quelle correspondance existe entre une droite graduée et les nombres réels ?

11. Que signifie encadrer un nombre réel $x$ ?

12. Quelle expression donne l’amplitude de l’encadrement $a < x < b$ ?

13. Quelle différence distingue un arrondi d’un encadrement ?

14. Quel ensemble représente l’intervalle fermé $[a \,;\, b]$ ?

15. Comment sont traitées les bornes dans un intervalle de la droite réelle ?

16. Que contient l’intersection de deux intervalles $I$ et $J$ ?

17. Quelle notation et quelle condition caractérisent la réunion de deux intervalles $I$ et $J$ ?

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QCM : Manipuler les nombres réels — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel ensemble contient les nombres utilisés pour compter, en incluant zéro ?

2. Quelle description définit correctement l’ensemble des entiers relatifs Z\mathbb{Z}Z ?

3. Que signifie l’écriture N⊂Z\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}N⊂Z ?

4. Quelle propriété caractérise un nombre décimal ?

5. Laquelle des écritures suivantes respecte la forme d’un nombre décimal ?

6. Quelle condition caractérise un nombre rationnel ?

7. Quelle affirmation décrit les possibilités d’écriture décimale d’un nombre rationnel ?

8. Comment définit-on l’ensemble des nombres réels R\mathbb{R}R ?

9. Quelle chaîne d’inclusions entre les ensembles de nombres est correcte ?

10. Quelle correspondance existe entre une droite graduée et les nombres réels ?

11. Que signifie encadrer un nombre réel xxx ?

12. Quelle expression donne l’amplitude de l’encadrement a<x<ba < x < ba<x<b ?

13. Quelle différence distingue un arrondi d’un encadrement ?

14. Quel ensemble représente l’intervalle fermé [a ; b][a \,;\, b][a;b] ?

15. Comment sont traitées les bornes dans un intervalle de la droite réelle ?

16. Que contient l’intersection de deux intervalles III et JJJ ?

17. Quelle notation et quelle condition caractérisent la réunion de deux intervalles III et JJJ ?

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3. Que signifie l’écriture $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ ?

8. Comment définit-on l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ ?

11. Que signifie encadrer un nombre réel $x$ ?

12. Quelle expression donne l’amplitude de l’encadrement $a < x < b$ ?

14. Quel ensemble représente l’intervalle fermé $[a \,;\, b]$ ?

16. Que contient l’intersection de deux intervalles $I$ et $J$ ?

17. Quelle notation et quelle condition caractérisent la réunion de deux intervalles $I$ et $J$ ?