Fiche de révision : Comparaison de deux populations

📋 Plan du Cours

1. Cadre et hypothèses des tests
2. Comparaison des variances
3. Comparaison des moyennes à variances égales
4. Comparaison des moyennes à variances inégales
5. Test d’appariement

📖 1. Cadre et hypothèses des tests

🔑 Notions clés & Définitions

• Risque de première espèce : la probabilité de rejeter l’hypothèse alors qu’elle est vraie

📝 Points essentiels

• 🔄 La procédure de comparaison suit trois étapes:
  1. prélever les deux échantillons
  2. calculer les moyennes et variances observées
  3. tester l’égalité des variances puis des moyennes

📌 La validité des tests suppose des populations normalement distribuées ; pour des échantillons assez grands, le théorème central limite permet de retrouver cette normalité.

💡 Astuce mémo

Normalité des populations → validité des tests

📖 2. Comparaison des variances

★ À maîtriser

📐 Formule — Sous H0 : σ1 = σ2 = σ0, la statistique $F = \frac{S_1^{*2}}{S_2^{*2}} = \frac{n_1S_1^2}{\sigma_0^2(n_1-1)}\,\Big/\,\frac{n_2S_2^2}{\sigma_0^2(n_2-1)}$ suit une loi de Fisher-Snedecor à n1 − 1 et n2 − 1 degrés de liberté.

📐 Formule — La réalisation observée de la statistique est $f_{obs}=\frac{s_1^{*2}}{s_2^{*2}}=\frac{n_1s_1^2/(n_1-1)}{n_2s_2^2/(n_2-1)}$.

📌 Si fobs > fα, on rejette H0 et on conclut que σ1 ≠ σ2 avec un risque α ; si fobs ≤ fα, on ne peut pas rejeter H0 et on peut admettre l’égalité des variances au seuil α.

Compléments

📐 Formule — Lorsque l’égalité des variances est admise, leur estimateur commun plus précis est $\hat{\sigma}_0^2=\frac{n_1s_1^2+n_2s_2^2}{n_1+n_2-2}$.

💡 Astuce mémo

F observé → seuil de Fisher → décision

📖 3. Comparaison des moyennes à variances égales

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsque les variances théoriques sont connues et que H0 : m1 = m2 est vraie, la statistique $Z=\frac{D}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$ suit la loi normale centrée réduite.

📐 Formule — Lorsque la variance commune est estimée et que H0 est vraie, la statistique $Z=\frac{D}{\sigma_0\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$ suit une loi de Student à n1 + n2 − 2 degrés de liberté.

📌 La différence des moyennes est déclarée significative lorsque la statistique observée appartient à l’extérieur de l’intervalle symétrique de décision ; sinon, on peut admettre l’égalité des moyennes sans l’avoir démontrée.

Compléments

• Pour un risque α réparti symétriquement, le seuil normal tα vérifie Φ(tα) = 1 − α/2, tandis que le seuil de Student zα vérifie P(|Z| > zα) = α.

💡 Astuce mémo

Variance connue : normale ; variance estimée : Student

📖 4. Comparaison des moyennes à variances inégales

📝 Points essentiels

📌 Lorsque les variances sont inconnues et déclarées différentes, on compare les intervalles de confiance des moyennes théoriques m1 et m2.

📌 Si les intervalles de confiance des moyennes se chevauchent, on admet jusqu’à preuve du contraire que les deux populations normales peuvent avoir la même moyenne malgré des écarts-types différents.

📖 5. Test d’appariement

🔑 Notions clés & Définitions

• Appariement : consiste à sélectionner n objets et à réaliser sur chaque objet i deux mesures couplées, xAi sous l’influence de A et xBi sous l’influence de B

★ À maîtriser

📌 Le test d’appariement est plus efficace que la comparaison de deux échantillons indépendants lorsque la variabilité intrinsèque de X risque de masquer l’effet du facteur étudié.

📐 Formule — Pour des mesures appariées, on définit la différence par $D=X_A-X_B$ et l’hypothèse d’absence d’influence par H0 : E(D) = 0.

📐 Formule — Sous H0, la décision repose sur l’appartenance de dn à l’intervalle $\left[-z_\alpha\frac{s_n(D)}{\sqrt{n-1}},\ z_\alpha\frac{s_n(D)}{\sqrt{n-1}}\right]$, où zα vérifie P(|Z| > zα) = α pour Z suivant une loi de Student à n − 1 degrés de liberté.

Compléments

📐 Formule — La moyenne observée des différences est $d_n=m_n(D)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{Ai}-x_{Bi})}{n}=m_n(X_A)-m_n(X_B)$.

💡 Astuce mémo

Chaque objet porte deux mesures couplées, A et B

📊 Tableaux de synthèse

Choix du test de moyenne