Séries de Fourier et convergence

📋 Plan du Cours

1. Fonctions et polynômes trigonométriques
2. Coefficients et convergence de Fourier
3. Produit scalaire et bases orthogonales
4. Écriture réelle des séries trigonométriques
5. Orthogonalité et identité de Parseval

📖 1. Fonctions et polynômes trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction périodique : Fonction qui vérifie $u(t+T)=u(t)$ pour tout réel t.
• Polynôme trigonométrique : Un polynôme trigonométrique est une combinaison linéaire finie de fonctions $e^{in\omega t}$, et l'ensemble P_N regroupe ceux dont le degré est inférieur ou égal à N.
• Fonction C¹ par morceaux : Une fonction périodique est C¹ par morceaux lorsqu'il existe une subdivision $\alpha_1<\cdots<\alpha_p$ telle qu'elle coïncide avec une fonction C¹ sur chaque intervalle ouvert de la subdivision.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Une série trigonométrique complexe s'écrit $\sum_{n\in\mathbb Z}c_ne^{in\omega t}$, avec $\omega=\frac{2\pi}{T}$ et $\nu=\frac{1}{T}$.

📖 2. Coefficients et convergence de Fourier

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme partielle : La somme partielle d'ordre N de la série de Fourier de u est $S_N(u)=\sum_{n=-N}^{N}c_n(u)e^{in\omega t}$.