Fiche de révision : Modèle ondulatoire de l’atome

📋 Plan du Cours

1. Limites du modèle de Bohr
2. Dualité et onde de De Broglie
3. Confirmations expérimentales de la dualité
4. Principes de la mécanique quantique
5. Incertitude et précision des mesures
6. Fonction d’onde et probabilité
7. Équation de Schrödinger et états
8. Nombres quantiques et orbitales
9. Probabilité radiale des orbitales ns
10. Spin de l’électron

📖 1. Limites du modèle de Bohr

★ À maîtriser

📌 Le modèle de Bohr décrit correctement les spectres d’émission de l’hydrogène et des ions hydrogénoïdes, mais ne permet pas d’expliquer ceux des atomes polyélectroniques.

📌 Le modèle ondulatoire remplace les orbites bien définies de la mécanique classique par une description quantique de l’électron.

Compléments

• Les rayons des orbites de Bohr calculés sont satisfaisants au regard des déterminations expérimentales, mais l’existence de ces orbites n’est pas justifiée expérimentalement.

💡 Astuce mémo

Bohr décrit bien l’hydrogène, mais échoue pour les atomes polyélectroniques.

📖 2. Dualité et onde de De Broglie

★ À maîtriser

📐 Formule - La longueur d’onde de De Broglie d’une particule de quantité de mouvement $p=mv$ est $\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}$.

Compléments

• En 1923, Louis de Broglie propose d’associer une onde à toute particule matérielle en mouvement.

• L’onde de matière associée à une particule n’est pas une onde électromagnétique, possède des caractéristiques périodiques et ne transporte pas d’énergie.

• Le caractère ondulatoire associé à une particule ne se manifeste pas pour les objets macroscopiques.

📖 3. Confirmations expérimentales de la dualité

🔑 Notions clés & Définitions

• Diffraction : Déviation de la direction de propagation d’une onde lorsqu’elle rencontre un obstacle, sans changement de fréquence ni de longueur d’onde.

★ À maîtriser

• En 1927, Davisson et Germer observent la diffraction d’électrons en bombardant une cible de nickel avec un faisceau d’électrons et en étudiant le faisceau diffracté à l’aide d’un détecteur mobile.

• 🔄 La collision Compton se déroule ainsi :
  1. Un photon gamma de longueur d’onde λ heurte un électron au repos.
  2. L’électron est mis en mouvement selon un angle F.
  3. Le photon diffusé selon un angle θ perd de l’énergie et sa longueur d’onde λ′ devient supérieure à λ.

Compléments

📐 Formule - La loi de Bragg relie la longueur d’onde diffractée à l’angle de diffraction par $\lambda=2d\sin\theta$.

• Pour des électrons accélérés sous une tension de 54 V, la longueur d’onde obtenue par la loi de Bragg est 1,65 Å, contre 1,67 Å selon le postulat de De Broglie.

• L’expérience des fentes de Young met en évidence des interférences et confirme le comportement ondulatoire des électrons.

📖 4. Principes de la mécanique quantique

★ À maîtriser

• La mécanique quantique concilie les aspects ondulatoire et corpusculaire de la matière et du rayonnement.

📌 En mécanique quantique, la notion de trajectoire d’une particule en mouvement n’a pas de sens et la théorie donne accès à la probabilité de présence dans une région de l’espace.

Compléments

• La mécanique quantique s’applique aux systèmes microscopiques, notamment atomiques et subatomiques.

• La mécanique quantique permet de calculer des grandeurs observables telles que l’énergie, le moment cinétique et la position.

📖 5. Incertitude et précision des mesures

★ À maîtriser

📐 Formule - Le principe d’incertitude d’Heisenberg impose, pour chaque direction spatiale, $\Delta x\,\Delta p_x\geq\frac{h}{4\pi}=\frac{\hbar}{2}$, avec des relations analogues selon y et z.

Compléments

📐 Formule - Pour une particule de masse m, l’incertitude sur la position et celle sur la vitesse dans une même direction vérifient $\Delta x\,\Delta v_x\geq\frac{h}{4\pi m}=\frac{\hbar}{2m}$. - HEISENBERG, 1927

• Pour un électron de masse 9,11 × 10⁻³¹ kg dont la vitesse est connue à 100 m·s⁻¹ près, l’incertitude minimale sur la position est 5,8 × 10⁻⁷ m, soit 5800 Å.

• Pour une voiture de masse 1 tonne roulant à 100 km/h avec une incertitude de vitesse de 0,001 km/h, l’incertitude minimale sur la position est 1,9 × 10⁻³⁴ m.

💡 Astuce mémo

À l’échelle microscopique, une faible incertitude sur la vitesse implique une forte incertitude sur la position.

📖 6. Fonction d’onde et probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction d’onde : Fonction mathématique associée à une particule et susceptible de décrire complètement son comportement, notamment son énergie, sa localisation et sa quantité de mouvement.

★ À maîtriser

📐 Formule - La densité volumique de probabilité de présence est donnée par $\frac{dP}{dV}=\psi(x,y,z)^2$. - DE BROGLIE – BOHM

📐 Formule - La probabilité de présence de la particule dans un élément de volume dV vaut $dP=\psi(x,y,z)^2\,dV$.

Compléments

• La fonction d’onde ψ(x, y, z) est une solution de l’équation d’onde, mais elle n’a pas de signification physique précise en elle-même.

📖 7. Équation de Schrödinger et états

★ À maîtriser

• En 1926, Schrödinger propose une équation d’onde dont les solutions sont les fonctions d’onde associées à l’électron de l’atome.

• Pour un électron d’énergie quantifiée E_n, la solution de l’équation de Schrödinger est la fonction d’onde ψ_n(x, y, z), et les solutions sont les couples (E_n, ψ_n(x, y, z)).

Compléments

• La résolution exacte de l’équation de Schrödinger n’est possible que dans le cas des hydrogénoïdes.

📐 Formule - Les solutions de l’équation de Schrödinger en coordonnées sphériques se séparent sous la forme $\psi(r,\theta,\phi)=R(r)\,\Theta(\theta)\,\Phi(\phi)$.

📐 Formule - Dans le modèle de Bohr, l’énergie de l’électron est donnée par $E_n=-13{,}6\,\frac{Z^{*2}}{n^2}$.

📖 8. Nombres quantiques et orbitales

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres quantiques : Trois nombres entiers qui définissent les fonctions d’onde possibles de l’électron dans l’atome.
• Orbitale atomique : Volume dans lequel la probabilité de présence de l’électron dépasse 0,95.

★ À maîtriser

• Les nombres quantiques vérifient n>0, 0≤l≤n−1 et −l≤m≤+l.

• Le nombre quantique secondaire l détermine le type de sous-couche et la forme de l’orbitale : l=0 correspond à s, l=1 à p, l=2 à d et l=3 à f.

• Le nombre quantique magnétique m détermine l’orientation spatiale de l’orbitale et possède 2l+1 valeurs possibles.

Compléments

• Le nombre quantique principal n est directement lié à la taille de l’orbitale atomique et à l’énergie E_n de l’électron.

• Une orbitale s possède une seule orientation spatiale et est sphérique, tandis qu’une orbitale p possède trois orientations notées p_x, p_y et p_z.

• Les cinq orientations d’une orbitale d sont :

  • d_xy
  • d_yz
  • d_xz
  • d_x²−y²
  • d_z²

• Pour une orbitale f, sept orientations spatiales sont possibles.

📖 9. Probabilité radiale des orbitales ns

★ À maîtriser

📐 Formule - La densité radiale de probabilité de présence vérifie $\frac{dP}{dr}=4\pi r^2\,\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)^2$.

Compléments

📐 Formule - Le volume compris entre deux sphères de rayons r et r+dr vaut $dV=4\pi r^2\,dr$.

• La probabilité radiale correspond à la probabilité de présence de l’électron entre deux sphères de rayons r et r+dr centrées sur le noyau.

• Les orbitales s ne dépendent pas des angles θ et φ et présentent une symétrie sphérique.

📖 10. Spin de l’électron

📝 Points essentiels

• En 1922, l’expérience de Stern et Gerlach montre qu’un nombre quantique supplémentaire est nécessaire pour décrire l’électron.

• Le spin de l’électron vaut 1/2 et ses projections ne peuvent prendre que les deux valeurs +1/2 et −1/2.

• La description quantique de l’électron ajoute aux nombres quantiques n, l et m le nombre quantique de spin m_s=±1/2.

📊 Tableaux de synthèse

Manifestations de la dualité