Flashcards : Modèles de durée en assurance — 55 cartes

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1Question

Qu'est-ce que la fonction de survie $S(t)$ ?

Réponse

C'est la probabilité que la durée $T$ dépasse $t$ , soit $S(t)=P(T>t)$ .

2Question

Quelle relation lie la fonction de répartition $F(t)$ et la fonction de survie $S(t)$ ?

Réponse

On a $F(t)=1-S(t)$ .

3Question

Comment s'exprime la densité $f(t)$ en fonction de la fonction de survie $S(t)$ ?

Réponse

$f(t)=-S'(t)$ est la dérivée négative de $S(t)$ .

4Question

Comment définit-on le taux de risque instantané $h(t)$ ?

Réponse

$h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}$ est le rapport de la densité à la survie.

5Question

Quelle est la formule de la fonction de risque cumulée $H(t)$ ?

Réponse

$H(t)=\int_0^t h(s)\,ds=-\ln S(t)$ .

6Question

Comment s'exprime la survie conditionnelle après une ancienneté $u$ ?

Réponse

$S_u(t)=\frac{S(u+t)}{S(u)}$ est la survie conditionnelle.

7Question

Quelle est la forme de la vraisemblance avec censure à droite ?

Réponse

$L(\theta)=\prod_i f_\theta(K_i)^{D_i}S_\theta(K_i)^{1-D_i}$ .

8Question

Que représentent $K_i$ et $D_i$ dans la vraisemblance censurée ?

Réponse

$K_i=\min(T_i,C)$ et $D_i=1$ si l'événement est observé.

9Question

Quelle formule vérifient les probabilités composées $\,_{t+t'}p_x$ ?

Réponse

$\,_{t+t'}p_x=\,_{t}p_x\,_{t'}p_{x+t}$

10Question

Comment calcule-t-on $\,_{5}p_{60}$ à partir de $\,_{5}p_{55}$ et $\,_{10}p_{55}$ ?

Réponse

On divise $\,_{10}p_{55}$ par $\,_{5}p_{55}$ pour obtenir $\,_{5}p_{60}$ .

11Question

Quelle est la valeur de $\,_{5}p_{60}$ si $\,_{5}p_{55}=0,9540$ et $\,_{10}p_{55}=0,8914$ ?

Réponse

$\,_{5}p_{60}=0,9343$

12Question

Comment calcule-t-on la probabilité qu’un homme de 55 ans décède entre 60 et 65 ans sachant qu’il décédera avant 65 ans ?

Réponse

On calcule $(0,9540-0,8914)/(1-0,8914)$ .

13Question

Quelle est la valeur de la probabilité qu’un homme de 55 ans décède entre 60 et 65 ans sachant qu’il décédera avant 65 ans ?

Réponse

Cette probabilité vaut 0,5764.

14Question

Quelle est la formule de la survie dans le modèle de Pareto ?

Réponse

$S(t)=\left(\frac{\theta}{\theta+t}\right)^\alpha$ pour $t\ge0$ et $\alpha>0$ .

15Question

Quelle est la densité de probabilité dans le modèle de Pareto ?

Réponse

$f(t)=\frac{\alpha\theta^\alpha}{(\theta+t)^{\alpha+1}}$ .

16Question

Quelle est la fonction de hasard dans le modèle de Pareto ?

Réponse

$h(t)=\frac{\alpha}{\theta+t}$ .

17Question

Quelle est l'espérance de vie du modèle de Pareto si $\alpha>1$ ?

Réponse

$E(T)=\frac{\theta}{\alpha-1}$ .

18Question

Que vaut l'espérance de vie du modèle de Pareto si $\alpha\le1$ ?

Réponse

L'espérance de vie est infinie.

19Question

Quelle est la formule de l'estimateur du maximum de vraisemblance avec censure dans le modèle de Pareto ?

Réponse

$\hat\alpha=\frac{r}{\sum_{i=1}^n\ln\left(\frac{\theta_i+K_i}{\theta_i}\right)}$ , où r est le nombre d'événements observés.

20Question

Quelle est la fonction de hasard de la loi exponentielle ?

Réponse

La fonction de hasard est constante et égale à $\lambda$ .

21Question

Quelle est la formule de la survie pour la loi exponentielle ?

Réponse

La survie est $S(t)=e^{-\lambda t}$ .

22Question

Quelle est l'espérance de la loi exponentielle ?

Réponse

L'espérance est $E(T)=1/\lambda$ .

23Question

Comment s'exprime l'estimateur du taux pour des durées exponentielles censurées ?

Réponse

L'estimateur est $\hat\lambda = d/Y$ .

24Question

Que représentent les variables d et Y dans l'estimateur $\hat\lambda = d/Y$ ?

Réponse

d est le nombre d'événements et Y l'exposition totale.

25Question

Quelle est la valeur estimée de $\hat\lambda$ dans l'exemple de remboursement avec censure ?

Réponse

$\hat\lambda = 5/217 = 0,02304$ par mois.

26Question

Quelle est la durée moyenne estimée dans l'exemple de remboursement ?

Réponse

La durée moyenne est de 43,4 mois.

27Question

Quelle est la valeur de $F(15)$ dans l'exemple de remboursement ?

Réponse

$F(15) = 0,2922$ .

28Question

Quelle est la formule de l'estimateur de Kaplan-Meier ?

Réponse

$\hat S(t)=\prod_{t_j\le t}\left(1-\frac{d_j}{n_j}\right)$

29Question

Que représente $d_j$ dans l'estimateur de Kaplan-Meier ?

Réponse

Le nombre de décès à l'instant $t_j$ .

30Question

Que représente $n_j$ dans l'estimateur de Kaplan-Meier ?

Réponse

L'effectif à risque juste avant $t_j$ .

31Question

Quelle est la valeur de $\hat S(3)$ pour cinq sujets observés à 3,4,6,6 et 7 jours ?

Réponse

$\hat S(3)=0,800$

32Question

Quelle est la valeur de $\hat S(6)$ dans l'exemple de Kaplan-Meier ?

Réponse

$\hat S(6)=0,267$

33Question

Quelle est la valeur de $\hat S(7)$ dans l'exemple donné ?

Réponse

$\hat S(7)=0$

34Question

Quelle est la formule de la durée moyenne estimée par Kaplan-Meier ?

Réponse

$\hat E(T)=\sum_i(t_i-t_{i-1})\hat S(t_{i-1})$

35Question

Quelle différence y a-t-il entre troncature à gauche et censure à gauche ?

Réponse

La troncature à gauche exclut un individu hors plage, la censure à gauche l'inclut après début période.

36Question

Quelle formule donne Kaplan-Meier pour estimer $\hat q_{80}$ ?

Réponse

$\hat q_{80}=1-\hat S(81)=1-(5/6)(4/5)=0,333$ .

37Question

Quelle est la formule de l’estimateur actuariel de $\hat q_{80}$ ?

Réponse

$\hat q_{80}=\frac{d_x}{n_x+T_x/2-C_x/2}=\frac{2}{5,5}=0,364$ .

38Question

Quelles sont les valeurs estimées de $q_{80}$ par les trois méthodes ?

Réponse

0,286 par la méthode brute, 0,333 par Kaplan-Meier, 0,364 par la méthode actuarielle.

39Question

Pourquoi les estimations de $q_{80}$ sont-elles instables ?

Réponse

Parce qu'il y a seulement quelques individus dans l'étude.

40Question

Combien de patients reçoivent la 6-MP dans l'essai de Freireich (1963) ?

Réponse

21 patients reçoivent la 6-MP.

41Question

Quelle est la formule de l'estimateur de Nelson-Aalen ?

Réponse

$\hat H(t)=\sum_{t_i<t}\frac{d_i}{r_i}$ .

42Question

Quelle est la formule de la variance cumulée de Nelson-Aalen ?

Réponse

$\operatorname{Var}(\hat H(t))=\sum_{t_i<t}\frac{d_i}{r_i^2}$ .

43Question

Quelle est la valeur de Kaplan-Meier à 23 semaines dans le groupe 6-MP ?

Réponse

$\hat S(23)=0,448$ .

44Question

Quelle est la valeur de Nelson-Aalen à 23 semaines dans le groupe 6-MP ?

Réponse

$\hat H(23)=0,752$ .

45Question

Comment calcule-t-on $\hat S_{NA}(23)$ à partir de Nelson-Aalen ?

Réponse

$\hat S_{NA}(23)=e^{-0,752}=0,471$ .

46Question

Quelle est la médiane sans rechute sous 6-MP ?

Réponse

La médiane sans rechute est de 23 semaines sous 6-MP.

47Question

Quel groupe a un risque de rechute plus élevé, 6-MP ou placebo ?

Réponse

Le risque de rechute est plus élevé sous placebo.

48Question

Quelle est la formule du modèle de Cox ?

Réponse

$h(t\mid Z)=h_0(t)\exp(\beta'Z)$

49Question

Qu'impose l'hypothèse des risques proportionnels sur le rapport de hasards ?

Réponse

Le rapport de hasards ne dépend pas du temps.

50Question

Quelle est la formule du rapport de hasards entre deux individus ?

Réponse

$HR=\exp(\beta'(Z_B-Z_A))$

51Question

Quel effet a une hausse d'un point de volatilité dans l'exemple financier ?

Réponse

Elle multiplie le risque de sortie par 1,49.

52Question

Quel effet a une année supplémentaire d'ancienneté dans l'exemple financier ?

Réponse

Elle multiplie le risque de sortie par 0,90.

53Question

Quel est le rapport de hasards calculé entre les clients A et B ?

Réponse

$HR=\exp(4,50)=90,0$

54Question

Que signifie un $HR=90$ entre B et A ?

Réponse

Le risque instantané de sortie de B est 90 fois celui de A.

55Question

Quel est le rapport de hasards sous placebo dans les données de Freireich ?

Réponse

$HR\approx4,8$

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Teste tes connaissances avec un QCM de 23 questions sur Modèles de durée en assurance.

1. Que représente la fonction de survie $S(t)=P(T>t)$ ?

2. Quelle relation relie le hasard instantané $h(t)$ au hasard cumulé $H(t)$ ?

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