Fiche de révision : Modèles de durée en assurance

📋 Plan du Cours

1. Fonctions fondamentales de durée
2. Probabilités composées
3. Modèle de Pareto
4. Censure et modèle exponentiel
5. Estimateur de Kaplan-Meier
6. Estimations de q80
7. Nelson-Aalen et essai Freireich
8. Modèle de Cox

📖 1. Fonctions fondamentales de durée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de survie : La fonction de survie est $S(t)=P(T>t)$, avec $S(0)=1$ et une fonction décroissante tendant vers 0.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les fonctions de durée vérifient $F(t)=1-S(t)$, $f(t)=F'(t)=-S'(t)$, $h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}$ et $H(t)=\int_0^t h(s)\,ds=-\ln S(t)$.

📐 Formule — Avec censure à droite, la vraisemblance est $L(\theta)=\prod_i f_\theta(K_i)^{D_i}S_\theta(K_i)^{1-D_i}$, où $K_i=\min(T_i,C)$ et $D_i=1$ si l’événement est observé.

Compléments

📐 Formule — La survie conditionnelle après une ancienneté u est $S_u(t)=P(T>u+t\mid T>u)=\frac{S(u+t)}{S(u)}$.

💡 Astuce mémo

Répartition → survie → densité → hasard → hasard cumulé

📖 2. Probabilités composées

★ À maîtriser

📐 Formule — Les probabilités composées vérifient $\,_{t+t'}p_x=\,_{t}p_x\,_{t'}p_{x+t}$.

• À partir de $\,_{5}p_{55}=0{,}9540$ et $\,_{10}p_{55}=0{,}8914$, on obtient $\,_{5}p_{60}=0{,}8914/0{,}9540=0{,}9343$.

Compléments

📐 Formule — La probabilité qu’un homme de 55 ans décède entre 60 et 65 ans sachant qu’il décédera avant 65 ans vaut $(0{,}9540-0{,}8914)/(1-0{,}8914)=0{,}5764$.

💡 Astuce mémo

Survies successives → survie sur la période totale

📖 3. Modèle de Pareto

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle de Pareto : Possède la survie $S(t)=\left(\frac{\theta}{\theta+t}\right)^\alpha$ pour $t\ge0$ et $\alpha>0$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour le modèle de Pareto, la densité est $f(t)=\frac{\alpha\theta^\alpha}{(\theta+t)^{\alpha+1}}$ et le hasard est $h(t)=\frac{\alpha}{\theta+t}$.

📐 Formule — Avec censure, l’estimateur du maximum de vraisemblance est $\hat\alpha=\frac{r}{\sum_{i=1}^n\ln((\theta_i+K_i)/\theta_i)}$, où r est le nombre d’événements observés.

Compléments

📐 Formule — L’espérance de vie du modèle de Pareto vaut $E(T)=\frac{\theta}{\alpha-1}$ si $\alpha>1$ et elle est infinie si $\alpha\le1$.

💡 Astuce mémo

Hasard décroissant : rodage, pas vieillissement

📖 4. Censure et modèle exponentiel

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi exponentielle : La loi exponentielle possède un hasard constant $h(t)=\lambda$, une survie $S(t)=e^{-\lambda t}$ et une espérance $E(T)=1/\lambda$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour des durées exponentielles censurées, l’estimateur du taux est $\hat\lambda=d/Y$, où d est le nombre d’événements et Y l’exposition totale.

• Dans l’exemple de remboursement, l’estimation avec censure donne $\hat\lambda=5/217=0{,}02304$ par mois, une durée moyenne de 43,4 mois et $F(15)=0{,}2922$.

💡 Astuce mémo

Ignorer la censure surestime le taux ; l’intégrer conserve l’exposition

📖 5. Estimateur de Kaplan-Meier

★ À maîtriser

📐 Formule — L’estimateur de Kaplan-Meier est $\hat S(t)=\prod_{t_j\le t}\left(1-\frac{d_j}{n_j}\right)$, où d_j est le nombre de décès et n_j l’effectif à risque.

• Pour cinq sujets observés aux temps 3, 4, 6, 6 et 7 jours, Kaplan-Meier donne $\hat S(3)=0{,}800$, $\hat S(6)=0{,}267$ et $\hat S(7)=0$.

Compléments

📐 Formule — La durée moyenne estimée par Kaplan-Meier est $\hat E(T)=\sum_i(t_i-t_{i-1})\hat S(t_{i-1})$.

💡 Astuce mémo

À chaque événement : effectif à risque → saut de survie

📖 6. Estimations de q80

★ À maîtriser

📌 La troncature à gauche exclut totalement un individu hors de la plage observée, tandis que la censure à gauche indique qu’il est entré dans l’étude après le début de la période pertinente.

📐 Formule — Pour les données de q80, Kaplan-Meier donne $\hat q_{80}=1-\hat S(81)=1-(5/6)(4/5)=0{,}333$.

Compléments

📐 Formule — L’estimateur actuariel de q80 est $\hat q_{80}=d_x/(n_x+T_x/2-C_x/2)=2/5{,}5=0{,}364$.

• Les estimations de q80 sont 0,286 par la méthode brute, 0,333 par Kaplan-Meier et 0,364 par la méthode actuarielle, mais elles sont très instables avec seulement quelques individus.

💡 Astuce mémo

Troncature : absence d’information ; censure : borne d’observation

📖 7. Nelson-Aalen et essai Freireich

📝 Points essentiels

• Dans l’essai de Freireich (1963), 21 patients reçoivent la 6-MP et 21 un placebo pendant un suivi pouvant atteindre 23 semaines.

📐 Formule — L’estimateur de Nelson-Aalen est $\hat H(t)=\sum_{t_i<t}\frac{d_i}{r_i}$ et sa variance cumulée est $\operatorname{Var}(\hat H(t))=\sum_{t_i<t}\frac{d_i}{r_i^2}$.

• À 23 semaines dans le groupe 6-MP, Kaplan-Meier donne $\hat S(23)=0{,}448$ et Nelson-Aalen donne $\hat H(23)=0{,}752$, soit $\hat S_{NA}(23)=e^{-0{,}752}=0{,}471$.

• La médiane sans rechute est de 23 semaines sous 6-MP contre 8 semaines sous placebo, ce qui correspond à un risque de rechute plus élevé sous placebo.

💡 Astuce mémo

Kaplan-Meier multiplie ; Nelson-Aalen cumule

📖 8. Modèle de Cox

★ À maîtriser

📐 Formule — Le modèle de Cox s’écrit $h(t\mid Z)=h_0(t)\exp(\beta'Z)$, où h0(t) est le risque de base non spécifié.

📐 Formule — Sous l’hypothèse des risques proportionnels, le rapport de hasards entre deux individus est $HR=\exp(\beta'(Z_B-Z_A))$ et ne dépend pas du temps.

• Dans l’exemple financier, une hausse d’un point de volatilité multiplie le risque de sortie par 1,49, tandis qu’une année supplémentaire d’ancienneté le multiplie par 0,90.

• Dans les données de Freireich, le codage placebo égal à 1 et 6-MP égal à 0 conduit à $HR\approx4{,}8$, soit un risque instantané de rechute environ cinq fois plus élevé sous placebo.

Compléments

• Pour les clients A et B de l’exemple, le rapport de hasards calculé est $HR=\exp(4{,}50)=90{,}0$, donc le risque instantané de sortie de B est 90 fois celui de A.

💡 Astuce mémo

Covariables → rapport de hasards constant dans le temps

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des estimateurs de q80

Kaplan-Meier et Nelson-Aalen