Modèles de durée en assurance

📋 Plan du Cours

1. Fonctions fondamentales de durée
2. Probabilités composées
3. Modèle de Pareto
4. Censure et modèle exponentiel
5. Estimateur de Kaplan-Meier
6. Estimations de q80
7. Nelson-Aalen et essai Freireich
8. Modèle de Cox

📖 1. Fonctions fondamentales de durée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de survie : La fonction de survie est $S(t)=P(T>t)$, avec $S(0)=1$ et une fonction décroissante tendant vers 0.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les fonctions de durée vérifient $F(t)=1-S(t)$, $f(t)=F'(t)=-S'(t)$, $h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}$ et $H(t)=\int_0^t h(s)\,ds=-\ln S(t)$.

📐 Formule — Avec censure à droite, la vraisemblance est $L(\theta)=\prod_i f_\theta(K_i)^{D_i}S_\theta(K_i)^{1-D_i}$, où $K_i=\min(T_i,C)$ et $D_i=1$ si l’événement est observé.

Compléments

📐 Formule — La survie conditionnelle après une ancienneté u est $S_u(t)=P(T>u+t\mid T>u)=\frac{S(u+t)}{S(u)}$.

💡 Astuce mémo

Répartition → survie → densité → hasard → hasard cumulé

📖 2. Probabilités composées

📐 Formule — Les probabilités composées vérifient $\,_{t+t'}p_x=\,_{t}p_x\,_{t'}p_{x+t}$.