QCM : Modèles de durée en assurance — 23 questions

Explication

La fonction de survie mesure la probabilité que l’événement ne se soit pas encore produit après $t$, et elle décroît de 1 vers 0. La fonction de répartition correspond, elle, à la probabilité que la durée soit inférieure ou égale à $t$.

Explication

Le hasard cumulé additionne le risque instantané jusqu’à $t$ et vérifie $H(t)=-\ln S(t)$. Le hasard instantané $h(t)$ décrit le risque à un instant donné, sans effectuer cette intégration.

Explication

Lorsque $D_i=0$, l’observation indique que la durée dépasse le temps de censure, donc sa contribution est $S_\theta(K_i)$. La densité $f_\theta(K_i)$ intervient lorsque l’événement est effectivement observé, avec $D_i=1$.

Explication

La composition des probabilités de survie suit $\,_{t+t'}p_x=\,_{t}p_x\,_{t'}p_{x+t}$, car la seconde période est conditionnée par la survie jusqu’à son début. Une somme ne représente pas la probabilité de survivre aux deux périodes successives.

Explication

La composition donne $\,_{10}p_{55}=\,_{5}p_{55}\,_{5}p_{60}$, donc $\,_{5}p_{60}=0,8914/0,9540=0,9343$. La valeur $0,9433$ ne correspond pas à ce quotient.

Explication

Le modèle de Pareto définit la survie par $S(t)=\left(\frac{\theta}{\theta+t}\right)^\alpha$. Cette expression décroît avec $t$ et reste valide pour tout $\alpha>0$, tandis qu’une espérance finie impose une condition plus restrictive.

Explication

Le hasard du modèle de Pareto vaut $h(t)=\frac{\alpha}{\theta+t}$, dont le dénominateur augmente avec $t$. Il s’agit donc d’un hasard décroissant, contrairement à un modèle destiné à représenter un risque croissant avec l’âge.

Explication

L’espérance du modèle est $E(T)=\frac{\theta}{\alpha-1}$ lorsque $\alpha>1$; elle devient infinie pour $\alpha\le1$. La survie peut pourtant être définie dès que $\alpha>0$, ce qui ne suffit pas à garantir une moyenne finie.

Explication

La loi exponentielle a un hasard constant $h(t)=\lambda$, une survie $S(t)=e^{-\lambda t}$ et une espérance $E(T)=1/\lambda$. La variance, et non l’espérance, vaut $1/\lambda^2$.

Explication

L’estimateur du taux est $\hat\lambda=d/Y$, où $d$ compte les événements et $Y$ représente l’exposition totale. Utiliser uniquement les temps associés aux événements négligerait l’information apportée par les observations censurées.

Explication

Pour une loi exponentielle, la durée moyenne est l’inverse du taux, soit environ $1/0,02304=43,4$ mois. La valeur 23,0 correspond approximativement au taux exprimé en millièmes, et non à son inverse.

Explication

Kaplan-Meier met à jour la survie par le facteur $1-d_j/n_j$ aux temps où surviennent des décès. Une censure modifie l’effectif à risque pour les temps suivants, mais ne provoque pas de saut de survie.

Explication

Dans cet exemple, le produit des facteurs de survie jusqu’à 6 jours donne $\hat S(6)=0,267$. La valeur $0,800$ correspond à la survie à 3 jours, tandis que la survie devient nulle à 7 jours.

Explication

La troncature à gauche exclut totalement un individu situé hors de la plage observée, alors que la censure à gauche indique une entrée après le début de la période pertinente. Confondre ces notions revient à attribuer à la troncature une simple information partielle d’observation.

Explication

Kaplan-Meier donne $\hat q_{80}=1-\hat S(81)=1-(5/6)(4/5)=0,333$. La valeur $0,286$ correspond à l’estimateur brut, tandis que $0,364$ est fournie par la méthode actuarielle.

Explication

L’essai comprenait deux groupes de 21 patients, l’un recevant la 6-MP et l’autre un placebo. La répartition en groupes de 28 et 14 ne correspond pas à l’effectif décrit pour cet essai.

Explication

La variance cumulée additionne, à chaque temps d’événement, le terme $d_i/r_i^2$. Le terme $d_i/r_i$ correspond à la contribution de l’estimateur de Nelson-Aalen lui-même, et non à sa variance.

Explication

L’approximation de survie associée à Nelson-Aalen est $\hat S_{NA}(t)=e^{-\hat H(t)}$, ce qui donne ici environ 0,471. L’expression $1-\hat H(t)$ ne constitue pas la transformation utilisée pour obtenir cette estimation.

Explication

La médiane sans rechute est de 23 semaines avec la 6-MP et de 8 semaines avec le placebo, indiquant un risque de rechute plus élevé sous placebo. Inverser les deux médianes conduit donc à une interprétation erronée des groupes.

Explication

Le modèle de Cox spécifie l’effet covariable par $\exp(\beta'Z)$ tout en laissant la fonction de risque de base $h_0(t)$ non spécifiée. Il ne suppose donc pas un risque de base exponentiel prédéterminé.

Explication

Le rapport de hasards compare les covariables par leur différence dans l’exponentielle, soit $\exp(\beta'(Z_B-Z_A))$, et reste constant dans le temps. Un rapport de hasards constant ne signifie pas que les probabilités de sortie sont constantes.

Explication

Une hausse d’un point de volatilité multiplie le risque de sortie par 1,49, ce qui correspond à une augmentation du risque instantané. Le facteur 0,90 concerne une année supplémentaire d’ancienneté, et non la volatilité.

Explication

Avec ce codage, le rapport de hasards compare le placebo à la 6-MP et vaut environ 4,8, indiquant un risque instantané de rechute bien plus élevé sous placebo. Ce résultat concerne un risque instantané et ne se traduit pas directement par un rapport identique des probabilités cumulées.