Fiche de révision : Modélisation statistique et probabilités

📋 Plan du Cours

1. Variables et échantillonnage
2. Distributions et paramètres descriptifs
3. Dispersion et dépendance
4. Graphiques statistiques
5. Régression linéaire
6. Probabilités et variables aléatoires
7. Lois de probabilité usuelles
8. Estimation et grands nombres
9. Probabilités conditionnelles
10. Intervalles de confiance
11. Tests statistiques et décisions

📖 1. Variables et échantillonnage

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle statistique : Représentation du monde réel qui prend en compte diverses variations aléatoires afin de décrire des données, d’expliquer des phénomènes et d’en prédire certains.

★ À maîtriser

📌 Une population est l’ensemble étudié, tandis qu’un échantillon en est un sous-ensemble observé pour estimer ses paramètres sans recensement exhaustif.

• Un bon échantillon doit être :
  • suffisamment grand
  • représentatif de la population étudiée
  • composé d’observations indépendantes

📌 Une variable qualitative décrit une catégorie, tandis qu’une variable quantitative prend des valeurs numériques; une variable quantitative peut être discrète ou continue.

Compléments

• Le lieu de naissance est une variable qualitative nominale, la note finale est quantitative discrète, la taille est quantitative continue à une dimension et le poids associé à la taille est quantitatif continu à deux dimensions.

📖 2. Distributions et paramètres descriptifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence : La fréquence d’une modalité est son effectif divisé par l’effectif total, soit $f_i=\frac{n_i}{n}$.
• Fonction de répartition : Fonction qui donne la fréquence cumulée des modalités ne dépassant pas x et identifie entièrement la série statistique.

• Médiane : Valeur qui partage la série en deux parties de même effectif et telle que F(M)=0,5.
• Fonction quantile : La fonction quantile est l’inverse de la fonction de répartition; par exemple, F⁻¹(0,25)=4 signifie que 25 % des observations sont inférieures à 4.

• Mode : Valeur la plus fréquente d’une série, une série pouvant avoir plusieurs modes.

★ À maîtriser

📐 Formule - La moyenne empirique d’une série est $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p}n_ix_i=\sum_{i=1}^{p}f_ix_i$.

Compléments

📐 Formule - L’effectif cumulé jusqu’à la modalité i est $N_i=\sum_{k=1}^{i}n_k$.

📐 Formule - La fréquence cumulée jusqu’à la modalité i est $F_i=\sum_{k=1}^{i}f_k=\frac{N_i}{n}$.

📖 3. Dispersion et dépendance

★ À maîtriser

• Les quartiles Q₁, Q₂ et Q₃ correspondent aux quantiles d’ordres 0,25, 0,5 et 0,75, et Q₂ est la médiane.

📐 Formule - L’écart-type est la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, soit $\sigma_X=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p}n_i(x_i-\bar{x})^2}$.

📐 Formule - Le coefficient de corrélation est $r_{XY}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$.

📌 Une corrélation forte entre deux variables ne signifie pas nécessairement qu’il existe une dépendance causale entre elles.

Compléments

📐 Formule - L’étendue d’une série est la différence entre sa valeur maximale et sa valeur minimale, soit $E_X=\max(x_i)-\min(x_i)$.

• La variance est le carré de l’écart-type, soit $\sigma_X^2$.

📐 Formule - Le coefficient de variation est le rapport de l’écart-type à la moyenne, soit $C_v=\frac{\sigma_X}{\bar{x}}$, et permet de comparer des séries d’ordres de grandeur différents.

• Pour une série normale, environ deux tiers des valeurs se trouvent dans l’intervalle [x̄−σX, x̄+σX] et environ 95 % dans [x̄−2σX, x̄+2σX].

📐 Formule - La covariance empirique est $\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$.

💡 Astuce mémo

Corrélation forte ≠ dépendance causale

📖 4. Graphiques statistiques

★ À maîtriser

• Le diagramme en bâtons convient aux variables quantitatives discrètes ou à la représentation des effectifs.

• L’histogramme représente une variable quantitative continue, et la surface de chaque rectangle correspond à la fréquence ou à l’effectif de la classe.

Compléments

• Un histogramme construit sur un très grand échantillon tend vers un graphique de densité.

• La boîte à moustaches représente des variables quantitatives continues ou compare des échantillons selon une variable qualitative.

• Le nuage de points sert à représenter deux variables quantitatives continues.

📖 5. Régression linéaire

★ À maîtriser

📌 Dans une régression, X est la variable explicative ou régresseur, et Y est la variable dépendante à prédire.

📐 Formule - Le modèle de régression linéaire simple s’écrit $\hat{Y}=\beta X+\alpha$.

📐 Formule - La régression aux moindres carrés choisit α et β pour minimiser $\sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta x_i-\alpha)^2$.

📐 Formule - La variabilité totale de Y se décompose en variabilité résiduelle et variabilité expliquée, soit $\mathrm{SCE}_Y=\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\hat{Y}_i)^2+\sum_{i=1}^{n}(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2$.

📐 Formule - Le coefficient de détermination est le rapport de la variabilité expliquée à la variabilité totale, soit $R^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2}{\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\bar{Y})^2}$.

Compléments

📐 Formule - La pente estimée est $\hat{\beta}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$.

📐 Formule - L’ordonnée à l’origine estimée est $\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta}\bar{x}$.

• Dans le cadre présenté, des valeurs de R² ou de r² proches de 1 indiquent un meilleur ajustement que des valeurs proches de 0.

📖 6. Probabilités et variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Résultat numérique associé à une expérience dont le résultat peut varier d’une répétition à l’autre.
• Espérance : Moyenne théorique que la moyenne empirique approche lorsque l’expérience est répétée un très grand nombre de fois.
• Événement : Ensemble de résultats possibles d’une expérience aléatoire.

★ À maîtriser

• La probabilité d’un événement est un nombre réel compris entre 0 et 1 et est liée à sa fréquence d’apparition à long terme.

📐 Formule - La variance est la moyenne des carrés des écarts à l’espérance et vérifie $\operatorname{Var}(X)=E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-(E[X])^2$.

Compléments

📐 Formule - Pour une variable aléatoire discrète, la fonction de répartition est $F_X(x)=P(X\leq x)$ et son espérance est $E[X]=\sum_{k\in\Omega}P(X=k)k$.

📐 Formule - Pour une variable aléatoire continue de densité fX, la fonction de répartition et l’espérance sont $F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(s)\,ds$ et $E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)\,dx$.

📐 Formule - L’espérance est linéaire : $E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$.

📐 Formule - Pour une constante a et une variable X, $\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$.

📐 Formule - La covariance de deux variables est $\operatorname{Cov}(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$.

📖 7. Lois de probabilité usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Bernoulli : Une variable de Bernoulli de paramètre p prend la valeur 1 avec probabilité p et la valeur 0 avec probabilité 1−p; son espérance est p et sa variance est p(1−p).
• Loi binomiale : Loi du nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès p.
• Loi exponentielle : Loi modélisant la durée de vie d’un phénomène sans mémoire, sans usure ou sans vieillissement, ainsi que le temps d’attente entre événements suivant une loi de Poisson de paramètre λ.
• Loi normale : Une variable suit la loi normale N(μ,σ²) lorsque sa densité est $f_X(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ sur R.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour X suivant une loi binomiale B(n,p), $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, $E[X]=np$ et $\operatorname{Var}(X)=np(1-p)$.

📐 Formule - La densité d’une loi exponentielle de paramètre λ est $f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ pour x≥0 et λ>0.

📖 8. Estimation et grands nombres

★ À maîtriser

📐 Formule - L’estimateur de l’espérance μ à partir de n observations est la moyenne empirique $\bar{x}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$.

📐 Formule - L’estimateur non biaisé de la variance σ² est $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x}_n)^2$.

• Pour des variables i.i.d. d’espérance et de variance finies, la loi faible des grands nombres affirme que la moyenne empirique converge en probabilité vers l’espérance.

• Le théorème central limite affirme que, pour des variables i.i.d. d’espérance μ et de variance finies σ², la moyenne centrée et réduite converge en loi vers une normale centrée réduite.

Compléments

📐 Formule - La loi faible des grands nombres s’écrit $P(|\bar{X}_n-\mu|\geq\epsilon)\to 0$ lorsque n tend vers l’infini, pour tout ε>0.

• Dans un sondage modélisé par des réponses de Bernoulli de paramètre p, la fréquence empirique des réponses positives converge vers la proportion p dans la population lorsque la taille de l’échantillon augmente.

💡 Astuce mémo

Plus n augmente → la moyenne empirique se rapproche de l’espérance

📖 9. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé.

★ À maîtriser

📌 Si les événements B₁,B₂,… forment une partition de Ω, sont deux à deux disjoints et ont des probabilités non nulles, alors la probabilité totale vérifie $P(A)=\sum_iP(A|B_i)P(B_i)$.

📌 Pour une partition admissible (Bᵢ), la formule de Bayes donne $P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_jP(A|B_j)P(B_j)}$.

Compléments

• Dans l’exemple du dépistage présenté, la prévalence du cancer du sein est de 0,02 %, la sensibilité de la mammographie est de 87 % et le taux de résultats positifs chez les femmes non atteintes est d’environ 10 %.

• Avec ces valeurs, la probabilité d’un test positif est 0,100154 et la probabilité d’un cancer sachant un test positif est environ 0,0017.

📖 10. Intervalles de confiance

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de confiance : Intervalle construit pour contenir le paramètre visé avec un niveau de fiabilité fixé à 1−α.

★ À maîtriser

📌 Une estimation ponctuelle ne fournit pas à elle seule d’indication sur la précision de l’estimation, car l’estimateur dépend de l’échantillon.

📐 Formule - L’intervalle de confiance approché d’une proportion est $\hat{p}_n\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}_n(1-\hat{p}_n)}{n}}$.

Compléments

• Le niveau de risque α est généralement choisi petit, de l’ordre de 0,05.

• Pour une proportion estimée par approximation normale, le quantile utilisé au niveau de confiance 95 % est 1,96.

📌 L’approximation normale pour un intervalle de proportion est utilisée si n>30 et si les effectifs attendus de réponses positives et négatives sont chacun supérieurs à 10.

• Pour 502 réponses positives sur 895 personnes, l’intervalle de confiance à 95 % de la proportion est approximativement [0,528 ; 0,594].

📖 11. Tests statistiques et décisions

★ À maîtriser

📌 Un test statistique examine si les données sont compatibles avec une hypothèse nulle H₀ et une hypothèse alternative H₁.

• Le risque de première espèce α est la probabilité de rejeter H₀ alors qu’elle est vraie.

• Le risque de seconde espèce β est la probabilité de ne pas rejeter H₀ alors qu’elle est fausse, et la puissance du test est 1−β.

📐 Formule - Pour tester une fréquence p₀ sur un grand échantillon, la statistique est $S=\frac{\sqrt{n}(\hat{p}_n-p_0)}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}$ et suit approximativement N(0,1) sous H₀.

Compléments

• Le choix du risque α dépend de la gravité des conséquences d’un rejet erroné; un α trop petit peut empêcher de tirer des conclusions utiles.

📌 Le test approché d’une fréquence est considéré valide si n≥30, np₀≥10 et n(1−p₀)≥10.

📌 Pour H₁:p≠p₀, le test rejette H₀ si |sobs|>z₁₋α/₂ et ne la rejette pas si |sobs|≤z₁₋α/₂.

• Dans l’exemple du médicament, 38 guérisons sur 84 donnent une proportion observée de 0,4524 et une statistique d’environ 1,97; H₀ est rejetée au seuil de 5 %, mais pas au seuil de 1 %.

💡 Astuce mémo

Rejet : données peu compatibles avec H₀ ; non-rejet : absence de preuve suffisante

📊 Tableaux de synthèse

Choix du graphique selon les données