Fiche de révision : Moments et travail en rotation

📋 Plan du Cours

1. Moment d’une force
2. Sens de rotation et équilibre
3. Moment d’un couple
4. Travail des forces en rotation
5. Vitesse angulaire
6. Moment d’inertie et axes
7. Force appliquée sur l’axe

📖 1. Moment d’une force

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment d’une force : Mesure l’effet de rotation de la force autour d’un axe fixe.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le moment d’une force par rapport à l’axe Δ s’écrit $M_{\Delta}(\vec F)=\pm Fd$, où d est la distance entre l’axe et la droite d’action de la force.

• Pour une force inclinée appliquée en B, le bras de levier vaut $d=OB\sin\alpha$, où α est l’angle indiqué entre la force et OB.

Compléments

• Le moment d’une force s’exprime en newtons-mètres (N·m).

• Lorsque la force est perpendiculaire à la tige, le bras de levier est la distance entre l’axe et le point d’application, par exemple OA.

💡 Astuce mémo

Force perpendiculaire : distance directe ; force inclinée : bras de levier perpendiculaire.

📖 2. Sens de rotation et équilibre

★ À maîtriser

• Une force qui tend à faire tourner le corps dans le sens antihoraire, appelé sens direct, reçoit un signe positif ; une force qui le fait tourner dans le sens horaire, appelé sens inverse, reçoit un signe négatif.

• Une somme des moments positive indique une rotation dans le sens direct, tandis qu’une somme négative indique une rotation dans le sens inverse.

• L’équilibre de rotation est réalisé lorsque la somme algébrique des moments appliqués au corps est nulle.

• Pour déterminer le sens de rotation résultant, on additionne algébriquement les moments des forces appliquées au corps.

Compléments

📐 Formule - Pour une force ajoutée perpendiculaire de valeur F₃, la condition d’équilibre donne $F_3d=2\,\mathrm{N\cdot m}$ lorsque les moments déjà appliqués totalisent −2 N·m.

• Si les moments calculés sont +2 N·m et −4 N·m, leur somme vaut −2 N·m et le corps tend à tourner dans le sens inverse.

• Si les moments déjà appliqués totalisent −2 N·m, le moment de la force ajoutée doit être +2 N·m pour rétablir l’équilibre.

💡 Astuce mémo

Somme positive → sens direct ; somme négative → sens inverse ; somme nulle → équilibre.

📖 3. Moment d’un couple

🔑 Notions clés & Définitions

• Couple de forces : Formé de deux forces parallèles, de même intensité, qui tendent à faire tourner le corps dans le même sens et sont à la même distance de l’axe considéré.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le moment du couple s’écrit $M_{\Delta}=\pm Fd$, où d est la distance séparant les droites d’action des deux forces.

Compléments

📌 Les distances données en centimètres doivent être divisées par 100 pour être converties en mètres avant le calcul du moment en N·m.

• Dans l’exemple de deux forces de même intensité dont les droites d’action sont séparées de 2R et qui tendent à faire tourner le corps dans le sens horaire, le moment du couple vaut $M_{\Delta}=-2FR$.

📖 4. Travail des forces en rotation

★ À maîtriser

📐 Formule - Le travail d’une force responsable de la rotation s’écrit $W=M_{\Delta}\theta$, où θ est le déplacement angulaire en radians.

• Un moment positif donne un travail positif, qualifié de travail moteur, tandis qu’un moment négatif donne un travail négatif, qualifié de travail résistant.

• Après que les forces qui ont lancé la rotation sont retirées, le frottement s’oppose au mouvement et son travail est négatif.

• Le poids contribue au bilan lorsque le corps est laissé libre et que sa chute est due à la gravité ; il aide la descente et s’oppose à la montée.

• Pour établir le bilan énergétique d’un corps initialement au repos mis en rotation par un couple, on ajoute le travail du couple à l’énergie cinétique initiale pour obtenir l’énergie cinétique finale.

• Le déplacement angulaire θ correspond au nombre de tours effectués, chaque tour complet valant 2π radians.

Compléments

📐 Formule - Le travail d’un couple de forces s’écrit $W=M_{\Delta}\theta$, avec θ égal au déplacement angulaire en radians.

📐 Formule - Le travail d’un couple vaut $W = M\theta$, où $M$ est le moment du couple et $\theta$ le déplacement angulaire en radians.

• Pour 10 tours, le déplacement angulaire vaut 20π rad, soit environ 62,8 rad en prenant π ≈ 3,14.

• Le travail d’une force ou d’un couple s’exprime en joules (J).

📌 Le travail d’un moment positif est moteur, tandis que celui d’un moment négatif est résistant.

💡 Astuce mémo

Le frottement freine après le lâcher ; le poids entraîne la chute.

📖 5. Vitesse angulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse angulaire : Mesure le déplacement angulaire par unité de temps et s’exprime en radians par seconde.

★ À maîtriser

📐 Formule - La vitesse angulaire moyenne vérifie $\omega = \frac{\theta}{t}$, où $\theta$ est l’angle parcouru en radians et $t$ la durée en secondes.

📐 Formule - La vitesse linéaire tangentielle et la vitesse angulaire sont liées par $v = r\omega$, où $r$ est la distance à l’axe de rotation.

Compléments

• Une révolution complète correspond à $2\pi$ radians.

• Pour 100 tours effectués en 2 minutes, le déplacement angulaire est de 200π radians et la durée doit être convertie en 120 secondes avant de calculer la vitesse angulaire.

📌 La vitesse linéaire s’exprime en mètres par seconde, tandis que la vitesse angulaire s’exprime en radians par seconde.

📖 6. Moment d’inertie et axes

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment d’inertie : Caractérise la répartition de la masse d’un corps par rapport à un axe de rotation et s’exprime en kilogrammes mètres carrés.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le théorème de Huygens donne le moment d’inertie autour d’un axe décalé : $I = I_G + md^2$, où $I_G$ est le moment d’inertie autour de l’axe parallèle passant par le centre de masse et $d$ la distance entre les axes.

📌 Lorsque l’axe de rotation passe par le centre de l’objet, on applique directement la formule du moment d’inertie correspondant à sa forme.

Compléments

📐 Formule - Pour une tige de longueur $L$ et de masse $m$ tournant autour d’un axe passant par son centre, $I = \frac{1}{12}mL^2$.

📐 Formule - Pour une sphère pleine de masse $m$ et de rayon $R$ autour de son axe central, $I = \frac{2}{5}mR^2$.

📐 Formule - Pour un point matériel de masse $m$ situé à une distance $d$ de l’axe, $I = md^2$.

📌 Une masse donnée en grammes doit être convertie en kilogrammes et une longueur donnée en centimètres en mètres avant d’appliquer les formules du moment d’inertie.

• Pour obtenir le moment d’inertie d’un assemblage, on calcule le moment de chaque élément par rapport à l’axe considéré, puis on additionne les contributions.

📖 7. Force appliquée sur l’axe

📝 Points essentiels

📌 Lorsqu’une force est appliquée sur l’axe de rotation, son bras de levier est nul et son moment ainsi que son travail sont nuls.