Fiche de révision : Mouvement dans un champ de pesanteur

📋 Plan du Cours

1. Champ gravitationnel et pesanteur uniforme
2. Repère et forces en chute libre
3. Accélération et coordonnées du vecteur
4. Équations horaires de la vitesse
5. Équations horaires de la position
6. Équation de la trajectoire
7. Portée du projectile

📖 1. Champ gravitationnel et pesanteur uniforme

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ de pesanteur uniforme : Approximation locale du champ gravitationnel près de la surface terrestre, où sa direction est verticale, son sens vers le bas et son intensité constante.

📝 Points essentiels

• Le champ gravitationnel terrestre n’est pas uniforme : son intensité diminue lorsqu’on s’éloigne du centre de la Terre et ses lignes de champ convergent vers ce centre.

💡 Astuce mémo

Champ terrestre variable à grande échelle, champ uniforme dans l’approximation locale.

📖 2. Repère et forces en chute libre

🔑 Notions clés & Définitions

• Chute libre : Un système est soumis uniquement à son poids, l’action de l’air étant négligée.

★ À maîtriser

• Pour étudier un mouvement près de la surface terrestre, on choisit le référentiel terrestre, supposé galiléen.

Compléments

• Le repère usuel place l’origine au sol, l’axe vertical Oz (ou Oy) vers le haut et l’axe horizontal Ox vers la droite.

📖 3. Accélération et coordonnées du vecteur

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un référentiel galiléen, la deuxième loi de Newton s’écrit $\sum \vec{F}_{\mathrm{ext}}=m\vec{a}$.

📐 Formule - En chute libre dans un champ de pesanteur uniforme, l’accélération vérifie $\vec{a}=\vec{g}$.

Compléments

• Avec Oz orienté vers le haut, les coordonnées du vecteur pesanteur sont $\vec{g}=(0,-g)$ dans le plan Oxz.

📖 4. Équations horaires de la vitesse

🔑 Notions clés & Définitions

• Accélération : La dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une vitesse initiale de norme $v_0$ et d’angle $\alpha$ avec l’horizontale, ses composantes sont $v_{0x}=v_0\cos\alpha$ et $v_{0z}=v_0\sin\alpha$.

Compléments

📐 Formule - Avec $a_x=0$ et $a_z=-g$, les coordonnées de la vitesse sont $v_x(t)=C_1$ et $v_z(t)=-gt+C_2$.

• Les constantes d’intégration des équations de vitesse se déterminent avec les coordonnées de la vitesse à l’instant initial.

💡 Astuce mémo

Accélération → primitive → vitesse → conditions initiales.

📖 5. Équations horaires de la position

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse : La dérivée du vecteur position par rapport au temps.

★ À maîtriser

📐 Formule - Avec les composantes de vitesse précédentes, les coordonnées de la position sont $x(t)=v_{0x}t+C_3$ et $z(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_{0z}t+C_4$.

Compléments

• Les constantes d’intégration des équations de position se déterminent à partir des coordonnées initiales de la position.

• Pour un lancer depuis une hauteur h à l’aplomb de l’origine, les coordonnées initiales de la position sont x(0)=0 et z(0)=h.

💡 Astuce mémo

Vitesse → primitive → position → conditions initiales.

📖 6. Équation de la trajectoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation de la trajectoire : L’équation de la trajectoire relie les coordonnées de la position indépendamment du temps, ici en exprimant z en fonction de x.

★ À maîtriser

• Pour obtenir z(x), on exprime le temps à partir de x(t), puis on remplace ce temps dans z(t).

Compléments

• Pour un lancer avec une vitesse initiale, la trajectoire obtenue est une parabole, associée à une fonction polynôme du second degré.

📖 7. Portée du projectile

🔑 Notions clés & Définitions

• Portée : Distance horizontale parcourue par l’objet entre son point de départ et le moment où il touche le sol.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La portée correspond à l’abscisse du point où l’objet atteint le sol, déterminé en résolvant $z(x)=0$.