Fiche de révision : Nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Définition et opérations complexes
2. Conjugué, module et propriétés
3. Racines carrées et second degré
4. Arguments et forme exponentielle
5. Racines n-ièmes et trigonométrie
6. Nombres complexes et géométrie

📖 1. Définition et opérations complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Couple (a,b) de réels, noté z=a+ib, où i vérifie i^2=-1.

★ À maîtriser

📌 Pour z=a+ib, a=Re(z) est la partie réelle et b=Im(z) est la partie imaginaire, et l’écriture z=Re(z)+iIm(z) est unique.

📐 Formule — Pour z=a+ib et z'=a'+ib', leur somme est $z+z'=(a+a')+i(b+b')$ et leur produit est $zz'=(aa'-bb')+i(ab'+ba')$.

Compléments

📐 Formule — Si z=a+ib est non nul, son inverse est $\frac{1}{z}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}$.

💡 Astuce mémo

Un point z=a+ib dans le plan, avec a horizontal et b vertical

📖 2. Conjugué, module et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : Nombre complexe $\overline z=a-ib$, symétrique de z par rapport à l’axe réel.
• Module : Réel positif $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, égal à la distance entre z et l’origine.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le module vérifie $|z|^2=z\overline z$ et $|zz'|=|z||z'|$.

📌 L’inégalité triangulaire affirme que $|z+z'|\leq |z|+|z'|$.

💡 Astuce mémo

Le conjugué réfléchit sur l’axe réel, le module mesure la distance à l’origine

📖 3. Racines carrées et second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Nombre complexe ω tel que $\omega^2=z$; tout complexe possède deux racines opposées, sauf 0 qui possède une racine double.

📝 Points essentiels

• Pour calculer une racine carrée de z=a+ib sous la forme ω=x+iy, on identifie les parties réelle et imaginaire de ω^2=z, puis on ajoute la relation |ω|^2=|z|.

📐 Formule — Pour az^2+bz+c=0 avec a≠0, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ et, si δ est une racine carrée de Δ, les solutions sont $z_1=\frac{-b+\delta}{2a}$ et $z_2=\frac{-b-\delta}{2a}$.

• Le théorème de d’Alembert-Gauss affirme qu’un polynôme complexe de degré n possède exactement n racines complexes comptées avec leur multiplicité. — d’Alembert–Gauss

💡 Astuce mémo

Discriminant → racine carrée → deux solutions

📖 4. Arguments et forme exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Argument : Réel θ tel que $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$; il est défini modulo 2π.
• Forme exponentielle : En posant $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$, tout complexe non nul s’écrit $z=\rho e^{i\theta}$ avec ρ=|z| et θ un argument de z.

📝 Points essentiels

📌 Les arguments vérifient $\arg(zz')\equiv\arg(z)+\arg(z')\pmod{2\pi}$, $\arg(1/z)\equiv-\arg(z)\pmod{2\pi}$ et $\arg(\overline z)\equiv-\arg(z)\pmod{2\pi}$.

📐 Formule — La formule de Moivre est $({\cos\theta+i\sin\theta})^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$.

💡 Astuce mémo

Produit des complexes → addition des arguments

📖 5. Racines n-ièmes et trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine n-ième : Complexe ω tel que $\omega^n=z$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $z=\rho e^{i\theta}$, ses n racines n-ièmes sont $\omega_k=\rho^{1/n}e^{i(\theta+2k\pi)/n}$ pour k=0,1,…,n−1.

📐 Formule — Les formules d’Euler sont $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

Compléments

• Les n racines n-ièmes de l’unité sont $e^{2ik\pi/n}$ pour k=0,…,n−1 et sont régulièrement réparties sur le cercle unité.

💡 Astuce mémo

Les racines de l’unité sont régulièrement réparties sur le cercle

📖 6. Nombres complexes et géométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe : Nombre complexe z=x+iy associé à un point M de coordonnées (x,y) du plan.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Une droite d’équation complexe s’écrit $\overline\omega z+\omega\overline z=k$ avec ω complexe non nul et k réel.

📐 Formule — Le cercle de centre d’affixe ω et de rayon r a pour équation $|z-\omega|=r$, soit $z\overline z-\overline\omega z-\omega\overline z=r^2-|\omega|^2$.

📌 L’ensemble des points M vérifiant $\frac{MA}{MB}=k$ est la médiatrice de [AB] si k=1 et un cercle si k≠1.

💡 Astuce mémo

Rapport égal à 1 → médiatrice ; rapport différent de 1 → cercle

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’un nombre complexe