QCM : Nombres complexes — 22 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle écriture définit un nombre complexe et la propriété vérifiée par ii ?

z=a+biz=a+bi avec a,ba,b positifs et i2=1i^2=1
z=a−biz=a-bi avec a,ba,b réels et i2=0i^2=0
z=ab+iz=ab+i avec a,ba,b réels et i2=−1i^2=-1
z=a+ibz=a+ib avec a,ba,b réels et i2=−1i^2=-1

$$z=a+ib$$ avec $$a,b$$ réels et $$i^2=-1$$

Explication

Un nombre complexe s’écrit z=a+ibz=a+ib avec deux réels aa et bb, tandis que l’unité imaginaire vérifie i2=−1i^2=-1. Les autres propositions modifient soit la condition sur ii, soit la forme du nombre complexe.

2. Pour z=a+ibz=a+ib, quelle affirmation distingue correctement les parties réelle et imaginaire ?

a=Re⁡(z)a=\operatorname{Re}(z) et b=Im⁡(z)b=\operatorname{Im}(z), avec plusieurs écritures possibles
a=Re⁡(z)a=\operatorname{Re}(z) et ib=Im⁡(z)ib=\operatorname{Im}(z), avec une écriture unique
a=Im⁡(z)a=\operatorname{Im}(z) et b=Re⁡(z)b=\operatorname{Re}(z), avec une écriture unique
a=Re⁡(z)a=\operatorname{Re}(z) et b=Im⁡(z)b=\operatorname{Im}(z), avec une écriture unique

$$a=\operatorname{Re}(z)$$ et $$b=\operatorname{Im}(z)$$, avec une écriture unique

Explication

Dans la forme a+iba+ib, aa est la partie réelle et bb est la partie imaginaire, qui est un réel. Confondre bb avec ibib revient à confondre le coefficient imaginaire réel avec le terme complexe associé.

3. Si z=a+ibz=a+ib et z′=a′+ib′z'=a'+ib', quelles sont les expressions correctes de leur somme et de leur produit ?

z+z′=(a+a′)+i(b−b′)z+z'=(a+a')+i(b-b') et zz′=(aa′+bb′)+i(ab′+ba′)zz'=(aa'+bb')+i(ab'+ba')
z+z′=(a+a′)+i(b+b′)z+z'=(a+a')+i(b+b') et zz′=(aa′−bb′)+i(ab′+ba′)zz'=(aa'-bb')+i(ab'+ba')
z+z′=(a+a′)+i(b+b′)z+z'=(a+a')+i(b+b') et zz′=(aa′+bb′)+i(ab′−ba′)zz'=(aa'+bb')+i(ab'-ba')
z+z′=(a−a′)+i(b−b′)z+z'=(a-a')+i(b-b') et zz′=(aa′−bb′)+i(ab′+ba′)zz'=(aa'-bb')+i(ab'+ba')

$$z+z'=(a+a')+i(b+b')$$ et $$zz'=(aa'-bb')+i(ab'+ba')$$

Explication

L’addition se fait séparément sur les parties réelle et imaginaire, tandis que le développement du produit utilise i2=−1i^2=-1. Ainsi, la partie réelle est aa′−bb′aa'-bb' et la partie imaginaire est ab′+ba′ab'+ba'.

4. Quel nombre complexe est le conjugué de z=a+ibz=a+ib ?

a+iba+ib
−a+ib-a+ib
−a−ib-a-ib
a−iba-ib

$$a-ib$$

Explication

Le conjugué conserve la partie réelle et change le signe de la partie imaginaire : z‾=a−ib\overline z=a-ib. La proposition −a+ib-a+ib correspondrait à une opposition de la partie réelle, pas à une conjugaison.

5. Que représente le module de z=a+ibz=a+ib ?

Le réel a−ba-b, égal à la différence entre les deux coordonnées de zz
Le réel a2+b2\sqrt{a^2+b^2}, égal à la distance entre zz et l’origine
Le réel a+ba+b, égal à la somme des deux coordonnées de zz
Le complexe a+iba+ib, égal au point représentant zz dans le plan

Le réel $$\sqrt{a^2+b^2}$$, égal à la distance entre $$z$$ et l’origine

Explication

Le module est ∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^2+b^2} et représente la distance de zz à l’origine. Il est positif ou nul, contrairement à la partie réelle, qui peut être négative.

6. Pour deux nombres complexes zz et z′z', quelle propriété du module est correcte ?

∣zz′∣=∣z∣+∣z′∣|zz'|=|z|+|z'| et ∣z∣2=z+z‾|z|^2=z+\overline z
∣zz′∣=∣z∣∣z′∣|zz'|=|z||z'| et ∣z∣2=z+z‾|z|^2=z+\overline z
∣zz′∣=∣z∣∣z′∣|zz'|=|z||z'| et ∣z∣2=zz‾|z|^2=z\overline z
∣zz′∣=∣z−z′∣|zz'|=|z-z'| et ∣z∣2=zz‾|z|^2=z\overline z

$$|zz'|=|z||z'|$$ et $$|z|^2=z\overline z$$

Explication

Le module transforme un produit en produit des modules et vérifie ∣z∣2=zz‾|z|^2=z\overline z. Une somme de modules ne décrit pas en général le module d’un produit, et z+z‾z+\overline z vaut plutôt deux fois la partie réelle.

7. Quelle relation exprime l’inégalité triangulaire pour deux nombres complexes zz et z′z' ?

∣z+z′∣=∣z∣+∣z′∣|z+z'|=|z|+|z'|
∣z+z′∣=∣z∣∣z′∣|z+z'|=|z||z'|
∣z+z′∣≥∣z∣+∣z′∣|z+z'|\geq |z|+|z'|
∣z+z′∣≤∣z∣+∣z′∣|z+z'|\leq |z|+|z'|

$$|z+z'|\leq |z|+|z'|$$

Explication

L’inégalité triangulaire donne une borne supérieure : ∣z+z′∣≤∣z∣+∣z′∣|z+z'|\leq |z|+|z'|. L’égalité n’est obtenue que dans certaines configurations, tandis que le produit des modules concerne le produit des nombres complexes.

8. Combien de racines carrées possède un nombre complexe non nul, et quelle relation les unit-elle ?

Trois racines distinctes, dont deux sont opposées
Deux racines égales, qui ont la même partie réelle
Deux racines distinctes, qui sont opposées l’une de l’autre
Une seule racine, dont le module est égal à celui du nombre

Deux racines distinctes, qui sont opposées l’une de l’autre

Explication

Pour un complexe non nul, les deux racines carrées sont distinctes et s’écrivent ω\omega et −ω-\omega. Le cas particulier de 00 donne une racine double, car 0=−00=-0.

9. Pour déterminer une racine carrée ω=x+iy\omega=x+iy de z=a+ibz=a+ib, quelle démarche faut-il suivre ?

Résoudre une équation réelle en imposant que la partie imaginaire de ω\omega soit nulle
Identifier les parties de ω2=z\omega^2=z puis utiliser ∣ω∣2=∣z∣|\omega|^2=|z|
Utiliser ∣ω∣=∣z∣|\omega|=|z| puis choisir arbitrairement les valeurs de xx et yy
Comparer directement xx à aa et yy à bb sans développer le carré

Identifier les parties de $$\omega^2=z$$ puis utiliser $$|\omega|^2=|z|$$

Explication

On développe ω2=(x+iy)2\omega^2=(x+iy)^2, puis on identifie ses parties réelle et imaginaire à celles de zz. La relation ∣ω∣2=∣z∣|\omega|^2=|z| complète le système et évite de comparer directement les coordonnées de ω\omega et de zz.

10. Pour résoudre az2+bz+c=0az^2+bz+c=0 avec a≠0a\neq0, quelle formule utilise le discriminant complexe ?

Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, puis z1=b+δ2cz_1=\frac{b+\delta}{2c} et z2=b−δ2cz_2=\frac{b-\delta}{2c} avec δ2=Δ\delta^2=\Delta
Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, puis z1=−b+δ2az_1=\frac{-b+\delta}{2a} et z2=−b−δ2az_2=\frac{-b-\delta}{2a} avec δ2=Δ\delta^2=\Delta
Δ=4ac−b2\Delta=4ac-b^2, puis z1=−b+Δ2az_1=\frac{-b+\Delta}{2a} et z2=−b−Δ2az_2=\frac{-b-\Delta}{2a}
Δ=b2+4ac\Delta=b^2+4ac, puis z1=b+δaz_1=\frac{b+\delta}{a} et z2=b−δaz_2=\frac{b-\delta}{a} avec δ2=Δ\delta^2=\Delta

$$\Delta=b^2-4ac$$, puis $$z_1=\frac{-b+\delta}{2a}$$ et $$z_2=\frac{-b-\delta}{2a}$$ avec $$\delta^2=\Delta$$

Explication

Le discriminant est Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, et une racine carrée complexe δ\delta de Δ\Delta permet d’écrire les deux solutions avec le dénominateur 2a2a. L’étude des signes de Δ\Delta appartient au cas des coefficients réels et ne remplace pas cette procédure dans le cadre complexe.

11. Que garantit le théorème de d’Alembert-Gauss pour un polynôme complexe de degré nn ?

Il possède au plus nn racines complexes distinctes sans compter les multiplicités
Il possède exactement nn racines complexes en comptant les multiplicités
Il possède exactement n−1n-1 racines complexes en comptant les multiplicités
Il possède une racine complexe pour chaque coefficient non nul du polynôme

Il possède exactement $$n$$ racines complexes en comptant les multiplicités

Explication

Le théorème de d’Alembert-Gauss affirme qu’un polynôme complexe de degré nn possède exactement nn racines complexes comptées avec leur multiplicité. Le nombre de racines distinctes peut être inférieur lorsque certaines racines sont multiples.

12. Pour un complexe non nul, comment caractérise-t-on un argument de ce complexe ?

C’est un réel θ\theta tel que z=∣z∣(cos⁡θ+isin⁡θ)z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)
C’est le module réel qui vérifie z=θ(cos⁡θ+isin⁡θ)z=\theta(\cos\theta+i\sin\theta)
C’est l’unique réel θ\theta compris entre 00 et 2π2\pi vérifiant z=∣z∣eiθz=|z|e^{i\theta}
C’est un réel θ\theta tel que z=cos⁡∣z∣+isin⁡∣z∣z=\cos|z|+i\sin|z|

C’est un réel $$\theta$$ tel que $$z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$$

Explication

Un argument θ\theta est défini par la représentation trigonométrique z=∣z∣(cos⁡θ+isin⁡θ)z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta). Il n’est pas unique, car deux arguments peuvent différer d’un multiple de 2π2\pi.

13. Si zz et z′z' sont non nuls, quelle relation relie un argument de leur produit à leurs arguments ?

arg⁡(zz′)≡arg⁡(z)−arg⁡(z′)(mod2π)\arg(zz')\equiv\arg(z)-\arg(z')\pmod{2\pi}
arg⁡(zz′)≡arg⁡(z)+arg⁡(z′)+π(mod2π)\arg(zz')\equiv\arg(z)+\arg(z')+\pi\pmod{2\pi}
arg⁡(zz′)≡arg⁡(z)+arg⁡(z′)(mod2π)\arg(zz')\equiv\arg(z)+\arg(z')\pmod{2\pi}
arg⁡(zz′)≡arg⁡(z)arg⁡(z′)(mod2π)\arg(zz')\equiv\arg(z)\arg(z')\pmod{2\pi}

$$\arg(zz')\equiv\arg(z)+\arg(z')\pmod{2\pi}$$

Explication

L’argument d’un produit est congru à la somme des arguments des facteurs modulo 2π2\pi. La soustraction correspond plutôt à une division par le second complexe.

14. Quelle égalité exprime correctement la formule de Moivre pour un entier nn ?

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡θ+isin⁡θn(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos\theta+i\sin\theta^n
(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)
(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))n=cos⁡θ+isin⁡θ(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))^n=\cos\theta+i\sin\theta
cos⁡θ+isin⁡(nθ)=(cos⁡(nθ)+isin⁡θ)n\cos\theta+i\sin(n\theta)=(\cos(n\theta)+i\sin\theta)^n

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$$

Explication

La formule de Moivre élève le complexe trigonométrique entier à la puissance nn et multiplie son angle par nn. Elle ne consiste pas à élever séparément le sinus ou l’angle à la puissance nn.

15. Quelle écriture exponentielle représente tout complexe non nul zz ?

z=θeiρz=\theta e^{i\rho} avec θ=∣z∣\theta=|z| et ρ\rho un argument de zz
z=ρeiθz=\rho e^{i\theta} avec ρ=∣z∣\rho=|z| et θ\theta un argument de zz
z=ρeθz=\rho e^{\theta} avec ρ\rho un argument et θ=∣z∣\theta=|z|
z=∣z∣eθz=|z|e^{\theta} avec θ\theta un réel sans interprétation angulaire

$$z=\rho e^{i\theta}$$ avec $$\rho=|z|$$ et $$\theta$$ un argument de $$z$$

Explication

En posant eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta, on obtient z=ρeiθz=\rho e^{i\theta}, où ρ\rho est le module et θ\theta un argument. L’argument intervient donc dans l’exposant multiplié par ii.

16. Que signifie qu’un complexe ω\omega est une racine nn-ième de zz ?

Il vérifie ω=zn\omega=z^n
Il vérifie ω+n=z\omega+n=z
Il vérifie nω=zn\omega=z
Il vérifie ωn=z\omega^n=z

Il vérifie $$\omega^n=z$$

Explication

Par définition, une racine nn-ième de zz est un complexe dont la puissance nn-ième vaut zz. Les relations linéaires proposées ne définissent pas une racine de cette nature.

17. Si z=ρeiθz=\rho e^{i\theta}, quelle expression donne ses racines nn-ièmes ?

ωk=ρnei(θ+2kπ)n\omega_k=\rho^ne^{i(\theta+2k\pi)n} pour k=0,…,n−1k=0,\ldots,n-1
ωk=ρ1/nei(θ+2kπ)/n\omega_k=\rho^{1/n}e^{i(\theta+2k\pi)/n} pour k=0,…,n−1k=0,\ldots,n-1
ωk=ρei(θ+2kπ)/n\omega_k=\rho e^{i(\theta+2k\pi)/n} pour k=0,…,n−1k=0,\ldots,n-1
ωk=ρ1/nei(θ+kπ)\omega_k=\rho^{1/n}e^{i(\theta+k\pi)} pour k=0,…,n−1k=0,\ldots,n-1

$$\omega_k=\rho^{1/n}e^{i(\theta+2k\pi)/n}$$ pour $$k=0,\ldots,n-1$$

Explication

Chaque racine possède le module commun ρ1/n\rho^{1/n} et un argument θ+2kπn\frac{\theta+2k\pi}{n}. Les angles diffèrent donc de 2πn\frac{2\pi}{n}, et non de 2π2\pi.

18. Quelle expression d’Euler permet de retrouver le sinus à partir des exponentielles complexes ?

sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}
sin⁡θ=eiθ+e−iθ2i\sin\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2i}
sin⁡θ=eiθ+e−iθ2\sin\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}
sin⁡θ=eiθ−e−iθ2\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}

$$\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$

Explication

La différence entre eiθe^{i\theta} et e−iθe^{-i\theta} vaut 2isin⁡θ2i\sin\theta, d’où la division par 2i2i. La somme sur 22 donne au contraire le cosinus.

19. Quel nombre complexe associe-t-on au point MM de coordonnées (x,y)(x,y) dans le plan complexe ?

Son affixe z=x+iyz=x+iy
Son affixe z=∣x+iy∣z=|x+iy|
Son affixe z=x−iyz=x-iy
Son affixe z=xy+iz=xy+i

Son affixe $$z=x+iy$$

Explication

L’affixe du point de coordonnées (x,y)(x,y) est le complexe x+iyx+iy. Le module de ce complexe représente plutôt la distance du point à l’origine.

20. Laquelle est une équation complexe d’une droite ?

zz‾−ω‾z−ωz‾=kz\overline z-\overline\omega z-\omega\overline z=k avec ω≠0\omega\ne0
ω‾z+ωz‾=k\overline\omega z+\omega\overline z=k avec ω≠0\omega\ne0 et k∈Rk\in\mathbb R
∣z−ω∣=r|z-\omega|=r avec r>0r>0
z2+z‾2=kz^2+\overline z^2=k avec k∈Rk\in\mathbb R

$$\overline\omega z+\omega\overline z=k$$ avec $$\omega\ne0$$ et $$k\in\mathbb R$$

Explication

Une droite peut s’écrire sous la forme linéaire ω‾z+ωz‾=k\overline\omega z+\omega\overline z=k. L’expression contenant le produit zz‾z\overline z caractérise plutôt une équation de cercle.

21. Quelle équation décrit le cercle de centre d’affixe ω\omega et de rayon rr ?

∣z∣+∣ω∣=r|z|+|\omega|=r
∣z−ω∣=r|z-\omega|=r
∣z−ω∣2=r|z-\omega|^2=r
∣z+ω∣=r2|z+\omega|=r^2

$$|z-\omega|=r$$

Explication

Un point appartient au cercle lorsque sa distance au centre est égale à rr, ce qui s’écrit ∣z−ω∣=r|z-\omega|=r. L’expression ∣z−ω∣2=r|z-\omega|^2=r utiliserait une distance au carré sans ajuster le second membre.

22. Quel est le lieu des points MM vérifiant MAMB=k\frac{MA}{MB}=k lorsque A≠BA\ne B ?

La médiatrice de [AB][AB] si k=1k=1, et un cercle si k≠1k\ne1
La droite (AB)(AB) si k=1k=1, et une parabole si k≠1k\ne1
Un cercle si k=1k=1, et la médiatrice de [AB][AB] si k≠1k\ne1
Une droite parallèle à (AB)(AB) lorsque k=1k=1, et un cercle si k≠1k\ne1

La médiatrice de $$[AB]$$ si $$k=1$$, et un cercle si $$k\ne1$$

Explication

Quand les distances à AA et BB sont égales, le lieu est la médiatrice de [AB][AB]. Pour un rapport constant différent de 11, le lieu devient un cercle.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 36 flashcards sur Nombres complexes.

Qu'est-ce qu'un nombre complexe ?

Un couple (a,b) de réels noté z=a+ib avec i tel qu'i^2=-1.

Quelle est la partie réelle de z=a+ib ?

La partie réelle est a, notée Re(z).

Quelle est la partie imaginaire de z=a+ib ?

La partie imaginaire est b, notée Im(z).

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