Nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Définition et opérations complexes
2. Conjugué, module et propriétés
3. Racines carrées et second degré
4. Arguments et forme exponentielle
5. Racines n-ièmes et trigonométrie
6. Nombres complexes et géométrie

📖 1. Définition et opérations complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Couple (a,b) de réels, noté z=a+ib, où i vérifie i^2=-1.

★ À maîtriser

📌 Pour z=a+ib, a=Re(z) est la partie réelle et b=Im(z) est la partie imaginaire, et l’écriture z=Re(z)+iIm(z) est unique.

📐 Formule — Pour z=a+ib et z'=a'+ib', leur somme est $z+z'=(a+a')+i(b+b')$ et leur produit est $zz'=(aa'-bb')+i(ab'+ba')$.

Compléments

📐 Formule — Si z=a+ib est non nul, son inverse est $\frac{1}{z}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}$.

💡 Astuce mémo

Un point z=a+ib dans le plan, avec a horizontal et b vertical

📖 2. Conjugué, module et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : Nombre complexe $\overline z=a-ib$, symétrique de z par rapport à l’axe réel.
• Module : Réel positif $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, égal à la distance entre z et l’origine.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le module vérifie $|z|^2=z\overline z$ et $|zz'|=|z||z'|$.