Fiche de révision : Nombres complexes et géométrie

📋 Plan du Cours

1. Définition et calculs algébriques
2. Inverse, conjugué et module
3. Interprétation géométrique
4. Distances, cercles et inégalités
5. Congruences et cercle unité
6. Forme trigonométrique
7. Exponentielle complexe
8. Polynômes et équations du second degré
9. Racines n-ièmes
10. Formules d'Euler et sommes trigonométriques
11. Complexes et transformations du plan

📖 1. Définition et calculs algébriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Tout nombre complexe s'écrit de manière unique sous la forme x+iy, avec x et y réels et i²=-1.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

• L'ensemble ℂ contient ℝ et prolonge ses opérations d'addition et de multiplication avec les mêmes éléments neutres et les propriétés de commutativité, d'associativité et de distributivité.

🧮 Formule — Si z=x+iy et z'=x'+iy', alors z+z'=(x+x')+i(y+y') et zz'=(xx'-yy')+i(xy'+x'y).

⚡ Pour a,b,a',b' réels, a+ib=0 équivaut à a=b=0, et a+ib=a'+ib' équivaut à a=a' et b=b'.

Compléments

• Le produit (1-3i)(4+2i) vaut 10-10i.

💡 Astuce mémo

Réel + imaginaire

📖 2. Inverse, conjugué et module

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : Le conjugué de z=a+ib est le complexe z̅=a-ib.
• Module : De z=a+ib est le réel positif |z|=√(zz̅)=√(a²+b²).

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Pour tout complexe non nul z=x+iy, son inverse est z⁻¹=(x-iy)/(x²+y²)=z̅/|z|².

⚡ Un complexe est réel si et seulement si z=z̅, et il est imaginaire pur si et seulement si z̅=-z.

Compléments

🧮 Formule — Pour z₂ non nul, z₁/z₂=z₁z̅₂/|z₂|².

🧮 Formule — On a Re(z)=(z+z̅)/2 et Im(z)=(z-z̅)/(2i).

💡 Astuce mémo

Conjuguer pour inverser

📖 3. Interprétation géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe : Dans un repère orthonormé direct, le complexe x+iy est l'affixe du point de coordonnées (x,y) et du vecteur de coordonnées (x,y).

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — L'affixe du vecteur AB est z_B-z_A.

🧮 Formule — La distance entre A et B est |z_B-z_A|, et le milieu de [AB] a pour affixe (z_A+z_B)/2.

Compléments

🧮 Formule — Pour deux vecteurs d'affixes z_x et z_y, leur produit scalaire vaut Re(z_x z̅_y).

💡 Astuce mémo

Affixe = point ou vecteur

📖 4. Distances, cercles et inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle complexe : Le cercle de centre A d'affixe a et de rayon r>0 est l'ensemble des points M vérifiant |a-z_M|=r.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

⚡ Le disque ouvert de centre A et de rayon r vérifie |a-z_M|<r, tandis que le disque fermé vérifie |a-z_M|≤r.

🧮 Formule — Pour tous z,z' complexes, |z+z'|≤|z|+|z'|, avec égalité si l'un est nul ou si z'=az pour un réel a>0.

Compléments

🧮 Formule — L'inégalité triangulaire inversée est ||z|-|z'||≤|z-z'|.

🧮 Formule — Pour z₁,...,z_n complexes, |z₁+...+z_n|≤|z₁|+...+|z_n|.

💡 Astuce mémo

Les modules mesurent

📖 5. Congruences et cercle unité

🔑 Notions clés & Définitions

• Congruence modulo : Pour a réel non nul, x est congru à y modulo a s'il existe k entier tel que x-y=ka, ce qui se note x≡y [a].
• Cercle trigonométrique : Le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens antihoraire, et U={z∈ℂ:|z|=1}.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Pour z∈U, z̅=z⁻¹, et U est stable par multiplication et inversion.

Compléments

📌 La congruence modulo a est réflexive, symétrique et transitive, donc c'est une relation d'équivalence.

📌 Si x≡y [a] et x'≡y' [a], alors x+x'≡y+y' [a], et si x≡y [a] alors λx≡λy [λa] pour λ réel non nul.

💡 Astuce mémo

Les angles tournent modulo 2π

📖 6. Forme trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle imaginaire : Pour tout réel θ, e^{iθ}=cos θ+i sin θ, et tout complexe de module 1 s'écrit e^{iθ}.
• Forme trigonométrique : Tout complexe non nul s'écrit z=re^{iθ}, avec r=|z|>0 et θ un argument défini modulo 2π.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

⚡ On a e^{iθ}=e^{iθ'} si et seulement si θ≡θ' [2π].

🧮 Formule — Pour tous réels θ et θ', e^{i(θ+θ')}=e^{iθ}e^{iθ'}, e^{i(θ-θ')}=e^{iθ}e^{-iθ'} et (e^{iθ})^n=e^{inθ} pour tout entier n.

🧮 Formule — Si z₁=r₁e^{iθ₁} et z₂=r₂e^{iθ₂}, alors z₁z₂=r₁r₂e^{i(θ₁+θ₂)} et z₁/z₂=(r₁/r₂)e^{i(θ₁-θ₂)}.

Compléments

📌 L'argument principal d'un complexe non nul est l'unique argument appartenant à l'intervalle ]-π,π].

💡 Astuce mémo

Module × rotation

📖 7. Exponentielle complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle complexe : Pour z=x+iy, l'exponentielle complexe est e^z=e^x e^{iy}.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Pour tous z₁,z₂ complexes, e^{z₁+z₂}=e^{z₁}e^{z₂}, e^z≠0 et 1/e^z=e^{-z}.

🧮 Formule — On a |e^z|=e^{Re(z)} et Im(z) est un argument de e^z.

⚡ e^{z₁}=e^{z₂} si et seulement si z₁-z₂=2ikπ pour un entier k.

Compléments

🔄 Processus — Pour résoudre e^z=a avec a non nul, on écrit a=|a|e^{iθ}, puis on identifie la partie réelle et les arguments modulo 2π.

💡 Astuce mémo

Partie réelle : taille, imaginaire : angle

📖 8. Polynômes et équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme : Complexe de degré n est une fonction f(z)=a_nz^n+...+a_1z+a_0, avec les coefficients complexes et a_n non nul.
• Racine polynomiale : Une racine ou un zéro de f est un complexe z tel que f(z)=0.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Si z₀ est une racine d'un polynôme f de degré n≥2, alors f(z)=(z-z₀)g(z), où g est l'unique polynôme de degré n-1 associé.

🧮 Formule — Pour az²+bz+c=0 avec a≠0, le discriminant est Δ=b²-4ac.

📌 Si Δ≠0, les deux solutions sont (-b-δ)/(2a) et (-b+δ)/(2a), où δ²=Δ, tandis que si Δ=0 l'unique solution est -b/(2a).

Compléments

• Un polynôme de degré n possède au plus n zéros dans ℂ.

💡 Astuce mémo

Racine donc facteur

📖 9. Racines n-ièmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine de l'unité : Une racine n-ième de l'unité est un complexe z vérifiant z^n=1, et l'ensemble de ces racines est noté U_n.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Les n racines n-ièmes de l'unité sont e^{2ikπ/n} pour k∈{0,1,...,n-1}.

🧮 Formule — Si a=|a|e^{iθ} est non nul, les solutions de z^n=a sont |a|^{1/n}e^{i(θ+2kπ)/n} pour k∈{0,1,...,n-1}.

Compléments

• Pour n≥3, les n racines n-ièmes distinctes de l'unité sont les affixes des sommets d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité.

📌 Si ω=e^{2iπ/n}, alors U_n={1,ω,ω²,...,ω^{n-1}} et, pour n≥2 et z∈U_n différent de 1, 1+z+...+z^{n-1}=0.

💡 Astuce mémo

Un polygone sur le cercle

📖 10. Formules d'Euler et sommes trigonométriques

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Les formules d'Euler sont cos θ=(e^{iθ}+e^{-iθ})/2 et sin θ=(e^{iθ}-e^{-iθ})/(2i).

🧮 Formule — La formule de Moivre est (cos θ+i sin θ)^n=cos(nθ)+i sin(nθ) pour tout entier n.

🧮 Formule — Pour a complexe, la somme géométrique vaut Σ_{k=0}^n a^k=n+1 si a=1 et (1-a^{n+1})/(1-a) si a≠1.

Compléments

🔄 Processus — La linéarisation de cos^n x sin^m x consiste à remplacer cos x et sin x par les formules d'Euler, développer, puis regrouper les exponentielles conjuguées.

🔄 Processus — Les sommes Σcos(kx) et Σsin(kx) se calculent en identifiant les parties réelle et imaginaire de Σe^{ikx}.

💡 Astuce mémo

Transformer en exponentielles

📖 11. Complexes et transformations du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Similitude directe : De centre ω, de rapport λ>0 et d'angle θ transforme z en z'=ω+λe^{iθ}(z-ω).

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs non nuls d'affixes z₁ et z₂ sont colinéaires si et seulement si z₂/z₁ est réel, et orthogonaux si et seulement si z₂/z₁ est imaginaire pur.

📌 Des points A,B,C sont alignés si et seulement si (z_C-z_A)/(z_B-z_A) est réel, et les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si (z_D-z_C)/(z_B-z_A) est imaginaire pur.

🧮 Formule — Une translation de vecteur d'affixe z_e transforme z_M en z_{M'}=z_M+z_e.

🧮 Formule — Une homothétie de centre d'affixe ω et de rapport réel λ transforme z en z'=ω+λ(z-ω).

🧮 Formule — Une rotation de centre d'affixe ω et d'angle θ transforme z en z'=ω+e^{iθ}(z-ω).

💡 Astuce mémo

Ajouter, dilater, tourner

📊 Tableaux de synthèse

Opérations en formes algébrique et trigonométrique

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. La partie réelle et la partie imaginaire sont uniques.
2. Le conjugué change le signe de la partie imaginaire, pas celui de la partie réelle.
3. Un même complexe peut représenter un point ou un vecteur selon le contexte.
4. L'inégalité stricte décrit l'intérieur, pas le cercle.
5. Le quotient a peut être réel non nul, pas uniquement entier.
6. Deux arguments d'un même complexe diffèrent d'un multiple entier de 2π.
7. Le facteur e^x est réel positif et e^{iy} porte la direction.