Fiche de révision : Calcul numérique et puissances

📋 Plan du Cours

1. Quotients et produits en croix
2. Addition et soustraction de fractions
3. Multiplication des fractions
4. Inverses et division fractionnaire
5. Conduite d’un calcul
6. Définition et règles des puissances
7. Écriture scientifique et puissances de dix

📖 1. Quotients et produits en croix

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur d’un quotient par un même nombre non nul ne change pas sa valeur.

⚡ Pour des nombres relatifs a, b, c et d avec b ≠ 0 et d ≠ 0, l’égalité a/b = c/d équivaut à l’égalité des produits en croix a×d = b×c.

💡 Astuce mémo

Même facteur en haut et en bas

📖 2. Addition et soustraction de fractions

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur non nul, on additionne ou soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur.

🔄 Processus — Pour additionner ou soustraire deux fractions de dénominateurs différents, on les réduit d’abord au même dénominateur en utilisant la propriété des quotients égaux.

Compléments

🧮 Formule — Pour k ≠ 0, on a a/k + b/k = (a+b)/k et a/k − b/k = (a−b)/k.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur, puis numérateurs

📖 3. Multiplication des fractions

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Pour b ≠ 0 et d ≠ 0, le produit de deux fractions vérifie (a/b)×(c/d) = (a×c)/(b×d).

Compléments

🔄 Processus — Lors d’une multiplication de fractions, il faut penser à simplifier avant d’effectuer les produits.

💡 Astuce mémo

Haut avec haut, bas avec bas

📖 4. Inverses et division fractionnaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres inverses : Deux nombres sont inverses si leur produit est égal à 1.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — L’inverse d’un nombre relatif non nul a est 1/a, également noté a⁻¹.

🧮 Formule — Si a et b sont des nombres relatifs non nuls, l’inverse de la fraction a/b est b/a.

📌 Pour diviser par une fraction c/d avec c ≠ 0 et d ≠ 0, on multiplie par son inverse d/c, donc (a/b) ÷ (c/d) = (a/b)×(d/c).

💡 Astuce mémo

Diviser, c’est multiplier par l’inverse

📖 5. Conduite d’un calcul

📝 Points essentiels

🔄 Processus — Le cours propose de conduire un calcul fractionnaire en appliquant les règles de calcul aux différentes opérations de l’expression.

📖 6. Définition et règles des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Pour un nombre non nul a et un entier positif n, la puissance aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Pour une base a, on a a⁰ = 1, a¹ = a et a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

🧮 Formule — Pour une même base a, aᵐ×aⁿ = aᵐ⁺ⁿ et aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ lorsque les expressions sont définies.

🧮 Formule — On a (aᵐ)ⁿ = aᵐ×ⁿ, (a×b)ⁿ = aⁿ×bⁿ et (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ lorsque les expressions sont définies.

💡 Astuce mémo

Même base : les exposants s’additionnent ou se soustraient

📖 7. Écriture scientifique et puissances de dix

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : L’écriture scientifique d’un nombre est une écriture de la forme a×10ⁿ ou −a×10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif.
• Ordre de grandeur : L’ordre de grandeur de la population française d’environ 60 000 000 d’habitants est 10⁷, car 60 000 000 = 6×10⁷.

📝 Points essentiels

• Les nombres 4503, 0,081, 182 et −0,00023 s’écrivent respectivement 4,503×10³, 8,1×10⁻², 1,82×10² et −2,3×10⁻⁴ en notation scientifique.

• Les préfixes des puissances positives de dix comprennent kilo 10³, méga 10⁶, giga 10⁹, téra 10¹², péta 10¹⁵, exa 10¹⁸, zetta 10²¹ et yotta 10²⁴.

• Les préfixes des puissances négatives de dix comprennent milli 10⁻³, micro 10⁻⁶, nano 10⁻⁹, pico 10⁻¹², femto 10⁻¹⁵, atto 10⁻¹⁸, zepto 10⁻²¹ et yocto 10⁻²⁴.

• Un angström correspond à 10⁻¹⁰ mètre.

💡 Astuce mémo

Un seul chiffre avant la virgule

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. La multiplication ou la division ne peut pas porter sur un seul des deux termes.
2. Le dénominateur commun n’est pas additionné ni soustrait.
3. Dans une multiplication de fractions, les numérateurs se multiplient entre eux et les dénominateurs entre eux.
4. L’inverse d’un nombre n’est pas son opposé.
5. L’exposant n indique le nombre de facteurs a, et non le produit a×n.
6. Le coefficient a doit être compris entre 1 inclus et 10 exclu.
7. Les produits en croix sont a×d et b×c, et non a×c et b×d.