Fiche de révision : Suites arithmétiques

📋 Plan du Cours

1. Modéliser une suite arithmétique
2. Formule explicite et calculs
3. Résoudre des problèmes de seuil
4. Identifier et caractériser une suite

📖 1. Modéliser une suite arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite dont chaque terme s’obtient en ajoutant une même raison au terme précédent.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Une suite arithmétique vérifie la relation de récurrence uₙ₊₁ = uₙ + r, où r est sa raison.

🧮 Formule — Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, le terme général est uₙ = u₀ + nr.

Compléments

• Dans l’exercice du cinéma, u₀ = 500 382 et la raison est r = 13 220, car le nombre de spectateurs augmente de 13 220 chaque année depuis 2010.

💡 Astuce mémo

Terme initial + raison répétée

📖 2. Formule explicite et calculs

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Pour la suite définie par u₀ = −10 et r = 3, on obtient uₙ = 3n − 10.

🔄 Processus — Pour démontrer une expression explicite d’une suite arithmétique, on peut vérifier qu’elle donne le premier terme et qu’elle respecte la relation uₙ₊₁ = uₙ + r.

Compléments

🔄 Processus — Pour calculer un terme d’une suite arithmétique, il faut remplacer l’indice n dans la formule explicite uₙ = u₀ + nr.

• Pour la suite définie par u₀ = −10 et r = 3, le terme u₁₀ vaut 20.

💡 Astuce mémo

uₙ = u₀ + nr

📖 3. Résoudre des problèmes de seuil

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Dans un problème concret, il faut calculer le terme demandé puis traduire son indice et sa valeur dans le contexte décrit.

🔄 Processus — Pour trouver l’entier naturel n tel que uₙ = 200, il faut résoudre l’équation obtenue en remplaçant uₙ par sa formule explicite, puis vérifier que la solution est naturelle.

🔄 Processus — Pour déterminer le plus petit entier naturel n tel que uₙ > 100, il faut résoudre l’inégalité à partir de la formule explicite puis retenir le plus petit entier admissible.

• Dans l’exercice du cinéma, u₁₆ représente le nombre de spectateurs accueillis pendant l’année 2026, car le terme uₙ correspond à l’année 2010 + n.

💡 Astuce mémo

Calculer puis interpréter

📖 4. Identifier et caractériser une suite

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Une suite vérifiant uₙ₊₁ = uₙ − 7 est strictement décroissante, car chaque terme est inférieur de 7 au précédent.

🔄 Processus — Pour tester si une suite donnée par une formule est arithmétique, on calcule uₙ₊₁ − uₙ et on vérifie que le résultat ne dépend pas de n.

⚡ Une suite est arithmétique si et seulement si la différence uₙ₊₁ − uₙ est constante pour tout entier naturel n.

Compléments

🧮 Formule — Si une suite arithmétique vérifie u₁ = 90 et u₁₀₀ = 238,5, alors sa raison satisfait 99r = 238,5 − 90, car u₁₀₀ − u₁ = 99r.

🧮 Formule — Pour une suite arithmétique de raison r dont on connaît u₁, le premier terme vérifie u₀ = u₁ − r.

💡 Astuce mémo

Différence constante

📊 Tableaux de synthèse

Variation selon la raison

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Une suite arithmétique n’est pas définie par une multiplication systématique, mais par une différence constante entre deux termes consécutifs.
2. Le terme u₁₅ est le seizième terme si la suite commence à u₀, mais il correspond au quinzième terme si la numérotation commence à u₁.
3. L’indice d’un terme et sa valeur numérique ne répondent pas à la même information.
4. Une expression contenant n n’est pas automatiquement non arithmétique : il faut étudier la différence entre deux termes consécutifs.
5. La relation uₙ₊₁ = uₙ − 7 correspond à une raison r = −7, et non à une raison égale à 7.
6. Le terme initial −10 ne doit pas être oublié dans l’expression explicite.
7. u₁₆ correspond à 2010 + 16, et non à l’année 2016 si l’on oublie le décalage d’indexation.