Fiche de révision : Nombres entiers et divisibilité

📋 Plan du Cours

1. Entiers relatifs et naturels
2. Multiples et diviseurs
3. Écriture des nombres naturels
4. Parité des entiers
5. Fractions irréductibles

📖 1. Entiers relatifs et naturels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers relatifs : Ensemble formé des entiers naturels et de leurs opposés, positifs ou négatifs.

★ À maîtriser

• L’ensemble des entiers naturels ℕ est inclus dans l’ensemble des entiers relatifs ℤ, ce qui s’écrit $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.

Compléments

• L’ensemble des entiers relatifs privés de 0 se note ℤ* et contient les entiers strictement positifs et strictement négatifs.

💡 Astuce mémo

ℕ compte les naturels ; ℤ ajoute leurs opposés.

📖 2. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Pour deux entiers a et b, a est un multiple de b et b est un diviseur de a s’il existe un entier k tel que $a = kb$.

★ À maîtriser

📌 Pour tout entier a, la somme de deux multiples de a est encore un multiple de a.

Compléments

• 15 est un multiple de 3 car $15 = 5 \times 3$, et 15 est aussi un multiple de 5 car $15 = 3 \times 5$.

• −10 est un diviseur de 40 car $40 = 4 \times (-10)$.

• 13 n’est pas un multiple de 3, car aucun entier k ne vérifie $13 = 3k$.

📖 3. Écriture des nombres naturels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Nombres qui permettent de dénombrer, c’est-à-dire de compter, une collection d’objets.

★ À maîtriser

• Les dix chiffres sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

📌 Le système d’écriture des nombres est décimal parce qu’il regroupe les unités par dix, et de position parce que la valeur de chaque chiffre dépend de son rang.

Compléments

• Dans le système décimal, dix unités font une dizaine, dix dizaines font une centaine et dix centaines font un millier.

• Le nombre 3 293 se décompose selon ses rangs ainsi : $3\,293 = 3 \times 1000 + 2 \times 100 + 9 \times 10 + 3 \times 1$.

📐 Formule - Un entier naturel à quatre chiffres s’écrit $N = 1000a + 100b + 10c + d$, où a, b, c et d sont des chiffres.

• L’ensemble des entiers naturels se note ℕ et l’ensemble privé de 0 se note ℕ*.

💡 Astuce mémo

Dans 3 293, chaque chiffre occupe une case de rang différente.

📖 4. Parité des entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Entier pair : Entier multiple de 2.
• Entier impair : Entier qui n’est pas pair.

★ À maîtriser

• Un entier pair s’écrit $2k$ avec k entier, tandis qu’un entier impair s’écrit $2k + 1$ avec k entier.

Compléments

• Dans la division euclidienne d’un entier N par 2, le reste vaut 0 si N est pair et 1 si N est impair.

📌 Ajouter 1 à un entier pair donne un entier impair, et ajouter 1 à un entier impair donne un entier pair.

📌 Le carré d’un entier impair est impair, et le carré d’un entier pair est pair.

💡 Astuce mémo

Pair : reste 0 ; impair : reste 1 dans la division par 2.

📖 5. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Fraction dont le numérateur et le dénominateur entiers n’ont que 1 comme diviseur commun.

★ À maîtriser

• Pour rendre une fraction irréductible, on divise son numérateur et son dénominateur par un même diviseur commun, puis on répète jusqu’à ce qu’il n’en reste aucun différent de 1.

Compléments

• La fraction $\frac{60}{126}$ se réduit en $\frac{30}{63}$ en divisant par 2, puis en $\frac{10}{21}$ en divisant par 3 ; $\frac{10}{21}$ est irréductible.

💡 Astuce mémo

Diviser les deux termes par un diviseur commun, puis recommencer.