QCM : Nombres entiers et divisibilité (11 questions)

Question 1

1. Quel ensemble comprend les entiers naturels ainsi que leurs opposés négatifs, et comment se note-t-il ?

L’ensemble des entiers relatifs non nuls, noté ℤ*

L’ensemble des entiers naturels, noté ℕ

L’ensemble des entiers relatifs, noté ℤ

L’ensemble des nombres décimaux, noté 𝔻

Explication

Les entiers relatifs réunissent les entiers naturels et leurs opposés, et leur ensemble se note ℤ. En revanche, ℕ désigne les entiers naturels sans inclure leurs opposés négatifs.

Answer

L’ensemble des entiers relatifs, noté ℤ

Question 2

2. Quelle relation d’inclusion relie l’ensemble des entiers naturels ℕ à l’ensemble des entiers relatifs ℤ ?

\mathbb{N} = \mathbb{Z}

\mathbb{Z} \subset \mathbb{N}

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}

\mathbb{N} \cap \mathbb{Z} = \varnothing

Explication

Tout entier naturel est aussi un entier relatif, donc ℕ est inclus dans ℤ. L’inclusion inverse est fausse, car ℤ contient aussi des entiers négatifs.

Answer

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$$

Question 3

3. Quel critère permet d’affirmer qu’un entier $a$ est un multiple d’un entier $b$ ?

Le quotient

a/b

est un nombre décimal non entier.

Il existe un entier

k

tel que

a = kb

.

La somme

a+b

est nécessairement un multiple de

b

.

Il existe un entier

k

tel que

b = ka + 1

.

Explication

Par définition, $a$ est un multiple de $b$ lorsqu’il existe un entier $k$ tel que $a = kb$ ; dans ce cas, $b$ divise $a$ . Un quotient décimal non entier ne garantit pas cette relation.

Answer

Il existe un entier $$k$$ tel que $$a = kb$$.

Question 4

4. Si deux entiers sont des multiples d’un même entier $a$ , que peut-on conclure au sujet de leur somme ?

Leur somme n’est un multiple de

a

que si elle est positive.

Leur somme est encore un multiple de

a

.

Leur somme est nécessairement égale à

a

.

Leur somme est un diviseur de

a

.

Explication

La somme de deux multiples de $a$ est encore un multiple de $a$ . Le fait que la somme soit positive n’est pas requis pour cette propriété.

Answer

Leur somme est encore un multiple de $$a$$.

Question 5

5. Dans l’écriture des nombres, que signifie le fait que le système soit à la fois décimal et de position ?

Les unités sont regroupées par dix, et la valeur d’un chiffre dépend de son rang.

Les nombres utilisent dix chiffres, mais leur valeur est indépendante de la position des chiffres.

Les chiffres sont regroupés selon leur rang, et leur valeur dépend du regroupement par dix.

Les unités sont regroupées par dix, et chaque chiffre conserve la même valeur quel que soit son rang.

Explication

Le système est décimal parce que les unités sont regroupées par dix, et positionnel parce que la valeur d’un chiffre dépend de son rang. L’idée que chaque chiffre garde la même valeur quel que soit son rang confond l’écriture positionnelle avec une écriture non positionnelle.

Answer

Les unités sont regroupées par dix, et la valeur d’un chiffre dépend de son rang.

Question 6

6. Quelle décomposition de $3\,293$ respecte la valeur de chacun de ses chiffres selon son rang ?

3\,293 = 3 \times 1000 + 2 \times 10 + 9 \times 100 + 3 \times 1

3\,293 = 3 \times 100 + 2 \times 1000 + 9 \times 1 + 3 \times 10

3\,293 = 3 \times 1000 + 2 \times 100 + 9 \times 10 + 3 \times 1

3\,293 = 3 \times 1000 + 2 \times 100 + 9 \times 1 + 3 \times 10

Explication

Dans $3\,293$ , les chiffres correspondent respectivement à trois milliers, deux centaines, neuf dizaines et trois unités. La décomposition qui place le 9 dans les centaines attribue à ce chiffre un rang incorrect.

Answer

$$3\,293 = 3 \times 1000 + 2 \times 100 + 9 \times 10 + 3 \times 1$$

Question 7

7. Comment caractérise-t-on un entier pair ?

C’est un entier supérieur à 2.

C’est un entier qui possède deux diviseurs.

C’est un entier dont le carré est pair.

C’est un entier multiple de 2.

Explication

Un entier pair est défini comme un multiple de 2. Un entier supérieur à 2 n’est pas forcément pair, car il peut être impair.

Answer

C’est un entier multiple de 2.

Question 8

8. Quel critère définit un entier impair ?

C’est un entier qui n’a pas de diviseur.

C’est un entier qui est un multiple de 2.

C’est un entier qui n’est pas pair.

C’est un entier dont le double est impair.

Explication

Un entier impair est un entier qui n’est pas pair. Un multiple de 2 est, au contraire, pair.

Answer

C’est un entier qui n’est pas pair.

Question 9

9. Si $k$ est un entier, quelles expressions représentent respectivement un entier pair et un entier impair ?

2k

et

2k + 2

2k

et

2k + 1

2k + 1

et

2k

k + 2

et

k + 1

Explication

Tout entier pair s’écrit $2k$ et tout entier impair s’écrit $2k + 1$ , avec $k$ entier. L’ordre inverse confond les formes associées aux deux parités.

Answer

$$2k$$ et $$2k + 1$$

Question 10

10. À quelle condition une fraction est-elle irréductible ?

Son numérateur est inférieur à son dénominateur et tous deux sont positifs.

Son dénominateur est un multiple du numérateur.

Son numérateur et son dénominateur n’ont que 1 comme diviseur commun.

Son numérateur et son dénominateur sont des nombres premiers consécutifs.

Explication

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1. Le fait que le numérateur soit inférieur au dénominateur ne garantit pas cette propriété.

Answer

Son numérateur et son dénominateur n’ont que 1 comme diviseur commun.

Question 11

11. Quelle démarche permet de rendre une fraction irréductible ?

Soustraire le même nombre au numérateur et au dénominateur jusqu’à obtenir deux entiers premiers.

Diviser le dénominateur par le numérateur, puis réduire le quotient obtenu.

Diviser le numérateur et le dénominateur par des diviseurs différents, puis comparer les résultats.

Diviser le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun, puis recommencer jusqu’à ce qu’il n’en reste aucun autre que 1.

Explication

On conserve la valeur de la fraction en divisant ses deux termes par un même diviseur commun, et on répète jusqu’à obtenir des termes dont le seul diviseur commun est 1. Utiliser des diviseurs différents ne préserve pas nécessairement la valeur de la fraction.

Answer

Diviser le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun, puis recommencer jusqu’à ce qu’il n’en reste aucun autre que 1.

QCM : Nombres entiers et divisibilité (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quel ensemble comprend les entiers naturels ainsi que leurs opposés négatifs, et comment se note-t-il ?

2. Quelle relation d’inclusion relie l’ensemble des entiers naturels ℕ à l’ensemble des entiers relatifs ℤ ?

3. Quel critère permet d’affirmer qu’un entier $a$ est un multiple d’un entier $b$ ?

4. Si deux entiers sont des multiples d’un même entier $a$ , que peut-on conclure au sujet de leur somme ?

5. Dans l’écriture des nombres, que signifie le fait que le système soit à la fois décimal et de position ?

6. Quelle décomposition de $3\,293$ respecte la valeur de chacun de ses chiffres selon son rang ?

7. Comment caractérise-t-on un entier pair ?

8. Quel critère définit un entier impair ?

9. Si $k$ est un entier, quelles expressions représentent respectivement un entier pair et un entier impair ?

10. À quelle condition une fraction est-elle irréductible ?

11. Quelle démarche permet de rendre une fraction irréductible ?

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1. Quel ensemble comprend les entiers naturels ainsi que leurs opposés négatifs, et comment se note-t-il ?

2. Quelle relation d’inclusion relie l’ensemble des entiers naturels ℕ à l’ensemble des entiers relatifs ℤ ?

3. Quel critère permet d’affirmer qu’un entier aaa est un multiple d’un entier bbb ?

4. Si deux entiers sont des multiples d’un même entier aaa, que peut-on conclure au sujet de leur somme ?

5. Dans l’écriture des nombres, que signifie le fait que le système soit à la fois décimal et de position ?

6. Quelle décomposition de 3 2933\,2933293 respecte la valeur de chacun de ses chiffres selon son rang ?

7. Comment caractérise-t-on un entier pair ?

8. Quel critère définit un entier impair ?

9. Si kkk est un entier, quelles expressions représentent respectivement un entier pair et un entier impair ?

10. À quelle condition une fraction est-elle irréductible ?

11. Quelle démarche permet de rendre une fraction irréductible ?

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4. Si deux entiers sont des multiples d’un même entier $a$ , que peut-on conclure au sujet de leur somme ?

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9. Si $k$ est un entier, quelles expressions représentent respectivement un entier pair et un entier impair ?