QCM : Nombres entiers et vecteurs (13 questions)

Explication

La translation qui transforme un point en un autre est désignée par le vecteur allant du point de départ à son image, ici $\overrightarrow{PQ}$. $\overrightarrow{QP}$ inverse le trajet, tandis que les vecteurs $\overrightarrow{PP}$ et $\overrightarrow{QQ}$ sont nuls.

Explication

Un entier est pair s’il s’écrit comme le double d’un entier, donc sous la forme $2k$. La forme $2k+1$ caractérise un impair, et le signe négatif ne suffit pas à déterminer la parité.

Explication

La relation « $b$ divise $a$ » est formulée sous la condition $b\ne0$, qui échoue lorsque $b=0$. Le fait que zéro soit un multiple de tous les nombres ne rend pas zéro diviseur, et la condition porte sur $b$, pas sur $a$.

Explication

Le carré d’un entier impair est impair : si l’entier s’écrit $2k+1$, son carré s’écrit $2(2k^2+2k)+1$. La positivité d’un carré ne le rend pas pair, et son signe ne détermine pas sa parité.

Explication

Un entier naturel est défini comme un entier positif. La réponse « positif ou négatif » décrit un entier relatif, tandis que les autres confusions omettent soit le caractère entier, soit le signe requis.

Explication

La différence de deux multiples d’un même entier est encore un multiple de cet entier, donc $u-v$ est multiple de $7$. La réponse « diviseur de 7 » inverse les notions, celle de $14$ ajoute une condition injustifiée, et la propriété admet des multiples entiers négatifs.

Explication

Les entiers naturels sont inclus dans les entiers relatifs, et un entier négatif comme $-4$ n’est pas naturel. Inverser l’inclusion, exclure $-4$ des relatifs ou confondre les deux ensembles mène aux autres réponses.

Explication

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme : ici, le sens diffère. La direction commune ne suffit pas, la norme commune ne suffit pas et réunir direction et norme sans le sens laisse une caractéristique manquante.

Explication

Le sens indique l’orientation du vecteur sur sa droite support, tandis que sa norme est la distance entre son origine et son extrémité. La direction désigne la droite support, et ne doit pas être confondue avec le sens.

Explication

Un point est le milieu de $[PQ]$ si et seulement si $\overrightarrow{PJ}=\overrightarrow{JQ}$. L’égalité des normes seules ne donne pas cette caractérisation, et inverser l’ordre des vecteurs ou choisir une extrémité ne correspond pas à la règle.

Explication

Un entier impair s’écrit $2k+1$ avec $k$ entier; par exemple, $-53=2(-27)+1$. La forme $2k$ est celle d’un entier pair, tandis que la valeur absolue ne figure pas dans la définition.

Explication

Si $m=2k$, alors $m^2=4k^2=2(2k^2)$, donc son carré est pair. La propriété sur les impairs ne s’applique pas à un pair, et le signe ne change pas la parité.

Explication

Un entier $a$ est un multiple de $b$ s’il existe un entier $k$ tel que $a=k\times b$; ici $k=-4$. La réponse qui place $6$ comme multiple inverse les rôles, tandis que les autres n’expriment pas la définition.