Fiche de révision : Nombres et calculs algébriques

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres et opérations
2. Fractions et règles de calcul
3. Développement et factorisation
4. Racines carrées
5. Intervalles et valeur absolue

📖 1. Ensembles de nombres et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Les nombres décimaux, notés $\mathbb{D}$, ont une écriture décimale avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Nombres rationnels : Les nombres rationnels, notés $\mathbb{Q}$, sont les quotients $\frac{a}{b}$ de deux entiers, avec un dénominateur non nul, et leur écriture décimale est finie ou infinie périodique à partir d’un certain rang.
• Nombres réels : Les nombres réels, notés $\mathbb{R}$, comprennent les nombres précédents ainsi que les nombres irrationnels, comme $\sqrt{2}$ et $\pi$.
• Entiers naturels : Les entiers naturels, notés $\mathbb{N}$, sont les nombres $0, 1, 2, 3, \ldots$.
• Entiers relatifs : Les entiers relatifs, notés $\mathbb{Z}$, comprennent les entiers négatifs, zéro et les entiers positifs.

📝 Points essentiels

📌 L’intersection de deux ensembles contient leurs éléments communs, tandis que leur réunion regroupe les éléments des deux ensembles.

📖 2. Fractions et règles de calcul

📝 Points essentiels

📌 Pour additionner ou soustraire des fractions, on les réduit au même dénominateur.

• Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

📌 Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

📖 3. Développement et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Développer : Développer consiste à transformer un produit en somme.
• Factoriser : Factoriser consiste à transformer une somme en produit en repérant un facteur commun ou en utilisant une identité remarquable.

📝 Points essentiels

📌 La distributivité simple s’écrit $k(a+b)=ka+kb$.

📌 La double distributivité s’écrit $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit.

📖 4. Racines carrées

📝 Points essentiels

📌 Pour tout réel positif $a$, on a $(\sqrt{a})^2=a$.

📌 En général, $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

📖 5. Intervalles et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel $x$, notée $|x|$, représente sa distance à zéro ; elle vaut $x$ si $x\ge0$ et $-x$ si $x<0$.

★ À maîtriser

📌 Pour $a\le b$, l’inégalité $a\le x\le b$ correspond à l’intervalle fermé $[a;b]$, tandis que $a<x<b$ correspond à l’intervalle ouvert $]a;b[$.

Compléments

📌 L’inégalité $x\le a$ correspond à la demi-droite $]-\infty;a]$.

📌 L’inégalité $|x-a|\le r$ signifie que la distance entre $x$ et $a$ est au plus $r$, donc que $x\in[a-r;a+r]$.