Fiche de révision : Nombres et calculs simples

📋 Plan du Cours

1. Nombres, écritures et valeurs de position
2. Ensembles et classement des nombres
3. Comparaison, encadrement et estimation
4. Multiples, diviseurs et nombres premiers
5. Fractions et opérations fondamentales
6. Puissances et règles de calcul
7. Puissances de dix et notation scientifique

📖 1. Nombres, écritures et valeurs de position

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture décimale : Décomposition du nombre en 24 unités, 3 dixièmes, 0 centième et 7 millièmes.

📝 Points essentiels

📌 Un même nombre peut être désigné par plusieurs écritures ou représentations, par exemple 0,75 = 3/4 = 6/8 = 75/100.

📌 Un zéro placé à droite de la partie décimale ne change pas la valeur du nombre, tandis qu’un zéro placé entre la virgule et un chiffre peut être indispensable : 4,5 = 4,50 mais 4,05 ≠ 4,5.

💡 Astuce mémo

Un nombre reste identique, même si son écriture ou sa représentation change.

📖 2. Ensembles et classement des nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : Les nombres entiers positifs ou nuls : ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}.
• Nombres décimaux : Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale a/10ⁿ, avec a entier relatif et n naturel.
• Nombres rationnels : Nombre qui peut s’écrire sous la forme a/b, avec a entier relatif et b entier relatif non nul.

📝 Points essentiels

📌 Les ensembles de nombres sont inclus selon la chaîne ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

💡 Astuce mémo

ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ

📖 3. Comparaison, encadrement et estimation

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement : Trouver un nombre inférieur et un nombre supérieur entre lesquels le nombre se situe.

★ À maîtriser

📌 Sur une droite graduée, le nombre le plus grand est celui qui est situé le plus à droite.

Compléments

📌 Arrondir 2,37 au dixième donne 2,4, tandis que l’encadrer au dixième donne 2,3 < 2,37 < 2,4.

• Pour 25 élèves recevant 4 cahiers chacun, 100 cahiers est un résultat vraisemblable alors que 10 cahiers ne l’est pas.

💡 Astuce mémo

Encadrer donne deux bornes, arrondir donne une valeur approchée.

📖 4. Multiples, diviseurs et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : Nombre a de b lorsque b est divisible par a, c’est-à-dire lorsqu’il existe un entier k tel que b = a × k.
• Nombre premier : Entier naturel supérieur à 1 qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

• Comme 24 = 4 × 6, 4 et 6 sont des diviseurs de 24, et 24 est un multiple de 4 et de 6.

💡 Astuce mémo

Divisibilité exacte → relation de diviseur et de multiple.

📖 5. Fractions et opérations fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Fraction dont le numérateur et le dénominateur n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

★ À maîtriser

• Une fraction peut représenter:
  • une part d’un tout
  • un quotient
  • un point sur une droite graduée
  • un nombre rationnel

📌 Dans une fraction a/b, a est le numérateur, b est le dénominateur, et b est différent de zéro.

📌 Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul ne change pas la valeur de la fraction.

• 🔄 Pour additionner deux fractions de dénominateurs différents: chercher un dénominateur commun, transformer les fractions en fractions équivalentes, additionner les numérateurs en conservant le dénominateur commun

📌 Diviser par une fraction revient à multiplier par sa fraction inverse, et diviser par un nombre revient à multiplier par l’inverse de ce nombre.

Compléments

📌 Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis on simplifie si possible.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur → additionner les numérateurs → simplifier.

📖 6. Puissances et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Produit de n facteurs égaux à a pour un entier naturel n non nul.

★ À maîtriser

📌 Les cas particuliers sont a¹ = a, a⁰ = 1 pour a ≠ 0, et a⁻ⁿ = 1/aⁿ pour a ≠ 0.

📐 Formule — Les règles de calcul des puissances sont $a^m \times a^n = a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ et $(a^m)^n=a^{m\times n}$.

Compléments

• Dans 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81, 3 est la base, 4 est l’exposant et 3⁴ est la puissance.

📐 Formule — Pour des nombres a et b, on a $(ab)^n=a^n b^n$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ lorsque les expressions sont définies.

💡 Astuce mémo

La base est répétée, l’exposant compte les facteurs.

📖 7. Puissances de dix et notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : Écriture de la forme A × 10ⁿ, avec 1 ≤ A < 10.

📝 Points essentiels

• Les puissances de dix vérifient 10³ = 1000 et 10⁻³ = 0,001.

• En notation scientifique, 450 000 = 4,5 × 10⁵, 0,00045 = 4,5 × 10⁻⁴ et 12820 = 1,282 × 10⁴.

💡 Astuce mémo

Grand nombre → exposant positif ; petit nombre → exposant négatif.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles de nombres