Fiche de révision : Nombres et raisonnement entier

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres et inclusions
2. Multiples, diviseurs et divisibilité
3. Critères de divisibilité usuels
4. Nombres premiers et décomposition
5. PGCD et PPCM
6. Simplification des fractions
7. Calculs relatifs et puissances
8. Rédiger une démonstration
9. Démonstrations sur la parité

📖 1. Ensembles de nombres et inclusions

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Nombres qui permettent de compter et qui comprennent 0.
• Entiers relatifs : Les entiers relatifs, notés ℤ, comprennent les entiers positifs, zéro et les entiers négatifs.
• Nombres décimaux : Nombres qui possèdent une écriture décimale finie.
• Nombres rationnels : Nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction a/b, où a et b sont des entiers et b ≠ 0.

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres selon la chaîne ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Multiples, diviseurs et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Un entier a est un multiple d’un entier b lorsqu’il existe un entier k tel que a = b × k.
• Diviseur : Entier non nul qui divise a lorsque la division de a par b donne un quotient entier.

📝 Points essentiels

• Les diviseurs positifs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12, associés par paires dont le produit vaut 12.

💡 Astuce mémo

42 est multiple de 6 ; 6 est diviseur de 42

📖 3. Critères de divisibilité usuels

★ À maîtriser

• Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

• Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Compléments

• Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

• Un entier est divisible par 25 si ses deux derniers chiffres sont 00, 25, 50 ou 75.

📖 4. Nombres premiers et décomposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier naturel supérieur ou égal à 2 qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• 2 est le seul nombre premier pair.

📌 Pour vérifier qu’un entier n > 1 est premier, il suffit de tester sa divisibilité par les nombres premiers inférieurs ou égaux à √n.

• Tout entier naturel supérieur à 1 s’écrit de manière unique comme un produit de nombres premiers, à l’ordre des facteurs près.

Compléments

• Pour décomposer un entier en facteurs premiers, on le divise successivement par les plus petits nombres premiers possibles, puis on regroupe les facteurs identiques avec des puissances.

💡 Astuce mémo

Diviser par 2, puis 3, 5, 7… jusqu’à obtenir des facteurs premiers

📖 5. PGCD et PPCM

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Plus grand diviseur commun positif de deux entiers.
• PPCM : Plus petit multiple commun strictement positif de deux entiers positifs.

★ À maîtriser

• Pour calculer un PGCD à partir des décompositions en facteurs premiers, on conserve les facteurs premiers communs avec leur plus petit exposant.

• Pour calculer un PPCM à partir des décompositions en facteurs premiers, on conserve tous les facteurs premiers avec leur plus grand exposant.

Compléments

• Comme 60 = 2² × 3 × 5 et 84 = 2² × 3 × 7, leur PGCD vaut 2² × 3 = 12.

💡 Astuce mémo

PGCD : facteurs communs aux plus petits exposants ; PPCM : tous les facteurs aux plus grands exposants

📖 6. Simplification des fractions

★ À maîtriser

📌 Pour simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par un même diviseur non nul.

• Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun supérieur à 1.

Compléments

• Le PGCD de 24 et 36 étant 12, la fraction 24/36 se simplifie en divisant les deux termes par 12 pour obtenir 2/3.

📖 7. Calculs relatifs et puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Une puissance permet d’écrire une multiplication répétée : $a^n$ est le produit de n facteurs égaux à a.

★ À maîtriser

• Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs valeurs absolues et on garde leur signe commun.

• Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents, on soustrait leurs valeurs absolues et on garde le signe du nombre de plus grande valeur absolue.

• Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé, selon la relation $a-b=a+(-b)$.

• Pour une multiplication ou une division de nombres relatifs, deux signes identiques donnent un résultat positif et deux signes différents un résultat négatif.

• La division par zéro est impossible.

📐 Formule - Pour un nombre a non nul, le produit de deux puissances de même base vérifie $a^m \times a^n = a^{m+n}$.

📐 Formule - Pour un nombre a non nul et un dénominateur non nul, le quotient de deux puissances de même base vérifie $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

📐 Formule - Une puissance élevée à une autre puissance vérifie $(a^m)^n=a^{mn}$.

📌 Les parenthèses distinguent le carré d’un nombre négatif, $(-2)^2=4$, du signe opposé du carré, $-2^2=-(2^2)=-4$.

Compléments

📌 Pour tout a non nul, $a^0=1$.

💡 Astuce mémo

(−2)² = 4, mais −2² = −4

📖 8. Rédiger une démonstration

★ À maîtriser

📌 Une démonstration mathématique doit présenter une propriété, son application au cas étudié et une conclusion.

Compléments

• Pour justifier une divisibilité, on expose le calcul utile, on invoque le critère correspondant et on conclut que le nombre est divisible.

📌 Pour démontrer qu’un entier n > 1 est premier, on teste les nombres premiers inférieurs ou égaux à √n et on conclut si aucun ne le divise.

💡 Astuce mémo

Propriété → application → conclusion

📖 9. Démonstrations sur la parité

🔑 Notions clés & Définitions

• Entier pair : Un entier n est pair s’il existe un entier k tel que n = 2k.
• Entier impair : Un entier n est impair s’il existe un entier k tel que n = 2k + 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si a = 2k et b = 2l pour des entiers k et l, alors $a+b=2(k+l)$, donc la somme de deux entiers pairs est paire.

📐 Formule - Si a = 2k + 1 et b = 2l + 1 pour des entiers k et l, alors $a+b=2(k+l+1)$, donc la somme de deux entiers impairs est paire.

Compléments

📐 Formule - Si a = 2k et b = 2l + 1 pour des entiers k et l, alors $a+b=2(k+l)+1$, donc la somme d’un entier pair et d’un entier impair est impaire.

• Deux entiers consécutifs s’écrivent n et n + 1 ; l’un est pair, donc leur produit est pair.

📊 Tableaux de synthèse

Repères pour le PGCD et le PPCM