Fiche de révision : Nombres naturels et opérations

📋 Plan du Cours

1. Nombres et système décimal
2. Lecture et écriture des nombres
3. Ordre et arrondissement
4. Puissances et notation exponentielle
5. Opérations sur les nombres naturels
6. Propriétés et calcul mental
7. Chaînes et priorités opératoires
8. Divisibilité et factorisation

📖 1. Nombres et système décimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Système positionnel : positionnel, car la valeur d’un chiffre dépend de sa position dans le nombre

★ À maîtriser

📌 Un chiffre est un symbole graphique utilisé pour écrire les nombres, tandis qu’un nombre représente une quantité, une position, une grandeur ou une mesure.

• Le système décimal utilise exactement dix chiffres arabes : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

• Chaque position du système décimal vaut 10 fois la valeur de la position située immédiatement à sa droite, et sa base est 10.

Compléments

• Les chiffres arabes dérivent de chiffres indiens et ont été utilisés dans le monde musulman à partir du IXe siècle, notamment par le mathématicien Al-Khwarizmi.

💡 Astuce mémo

Un chiffre s’écrit ; un nombre se construit avec des chiffres.

📖 2. Lecture et écriture des nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme développée : met en évidence la valeur de chacun de ses chiffres en fonction de sa position
• Nombres naturels : comprend les nombres entiers positifs : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et ainsi de suite

📝 Points essentiels

• Le nombre 6 439 s’écrit sous forme développée $6 \times 1\,000 + 4 \times 100 + 3 \times 10 + 9 \times 1$, soit $6 \times 10^3 + 4 \times 10^2 + 3 \times 10^1 + 9 \times 10^0$.

💡 Astuce mémo

Chaque chiffre occupe une colonne de la droite vers la gauche : unités, dizaines, centaines.

📖 3. Ordre et arrondissement

📝 Points essentiels

📌 Pour comparer deux nombres naturels, on peut les classer par ordre croissant ou décroissant, les placer sur une droite numérique ou utiliser les symboles < et >.

📌 Dans une comparaison avec < ou >, la pointe du symbole est toujours dirigée vers le plus petit nombre.

• Pour arrondir un nombre naturel à une position donnée, on le situe entre deux valeurs correspondant à cette position, puis on choisit la valeur la plus proche.

💡 Astuce mémo

Le symbole pointe vers le plus petit nombre ; l’arrondissement choisit la valeur la plus proche.

📖 4. Puissances et notation exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentiation : une opération qui consiste à multiplier un nombre par lui-même un certain nombre de fois

📝 Points essentiels

📌 Dans une puissance, la base est le nombre répété, l’exposant indique le nombre de répétitions et la puissance est le résultat de l’opération.

📐 Formule — L’écriture $5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$ signifie que 5 est la base, 4 l’exposant et 625 la puissance.

• Un carré parfait est une puissance d’exposant 2, comme $4^2 = 16$, et un cube parfait est une puissance d’exposant 3, comme $4^3 = 64$.

📌 Pour tout nombre n, $n^1 = n$, tandis que pour tout nombre n différent de 0, $n^0 = 1$.

💡 Astuce mémo

La base se répète autant de fois que l’indique l’exposant pour former la puissance.

📖 5. Opérations sur les nombres naturels

★ À maîtriser

📌 L’addition de deux termes donne une somme, tandis que la soustraction de deux termes donne une différence.

• Pour additionner verticalement, on aligne les positions, on additionne les unités puis les positions suivantes, en reportant les retenues lorsque la somme atteint 10.

• Pour soustraire verticalement, on aligne les positions et on échange une dizaine contre 10 unités lorsque le chiffre du premier nombre est trop petit.

📌 La multiplication de deux facteurs donne un produit, tandis que la division d’un dividende par un diviseur donne un quotient.

• Pour effectuer une division posée, on détermine combien de fois le diviseur tient dans le nombre à gauche, on soustrait le produit, on abaisse le chiffre suivant et on recommence jusqu’à épuisement du dividende.

Compléments

📌 L’addition et la soustraction sont des opérations inverses : si $60 + 15 = 75$, alors $75 - 15 = 60$ et $75 - 60 = 15$.

💡 Astuce mémo

Addition et soustraction sont inverses ; multiplication et division sont inverses.

📖 6. Propriétés et calcul mental

★ À maîtriser

📌 L’addition est commutative et associative, et son élément neutre est 0 : on peut changer l’ordre ou le regroupement des termes sans changer le résultat, et $a + 0 = a$.

📌 La multiplication est commutative et associative, distributive sur l’addition et la soustraction, possède 1 comme élément neutre et 0 comme élément absorbant.

Compléments

• Pour calculer mentalement $25 \times 9 \times 4$, on peut utiliser la commutativité pour écrire $25 \times 4 \times 9 = 900$.

• La distributivité permet de calculer $5 \times 14 = 5 \times (10 + 4) = 50 + 20 = 70$.

💡 Astuce mémo

CAD : commutativité, associativité, distributivité.

📖 7. Chaînes et priorités opératoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Chaîne d’opérations : écrit en une seule expression la suite des opérations à effectuer, en respectant les priorités opératoires

★ À maîtriser

📌 Dans une chaîne d’opérations, on effectue d’abord les opérations entre parenthèses, puis les puissances, ensuite les multiplications et divisions de gauche à droite, puis les additions et soustractions de gauche à droite.

Compléments

• En respectant les priorités, $40 \div (9 - 5) + 2^3 \times 2 = 26$.

💡 Astuce mémo

Parenthèses, puissances, multiplications/divisions, additions/soustractions.

📖 8. Divisibilité et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même
• Nombre composé : Un nombre composé possède plus de deux diviseurs, comme 12 dont les diviseurs sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
• Factorisation première : l’écriture d’un nombre comme produit de facteurs premiers, et elle est unique

★ À maîtriser

📌 Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair, par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, et par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.

Compléments

• Les autres critères sont:
  • par 4 : les deux derniers chiffres sont divisibles par 4
  • par 6 : le nombre est divisible par 2 et par 3
  • par 8 : les trois derniers chiffres sont divisibles par 8
  • par 9 : la somme des chiffres est divisible par 9
  • par 10 : le dernier chiffre est 0

📌 Le nombre 1 n’est pas premier, car il possède un seul diviseur et non exactement deux.

• La factorisation première de 36 est $2 \times 2 \times 3 \times 3$, soit $2^2 \times 3^2$.

💡 Astuce mémo

Les critères de divisibilité → recherche des facteurs premiers.

📊 Tableaux de synthèse

Vocabulaire des opérations