Fiche de révision : Nombres premiers et divisibilité

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne
2. Multiples, diviseurs et critères
3. Définition des nombres premiers
4. Tester la primalité
5. Décomposition en facteurs premiers
6. Fractions irréductibles
7. PGCD et problèmes de lots

📖 1. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Consiste à trouver des entiers naturels q et r tels que $a=b\times q+r$ avec $r<b$.

📝 Points essentiels

• Dans une division euclidienne, a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.

• La division euclidienne de 275 par 4 s’écrit $275=4\times68+3$, avec un quotient égal à 68 et un reste égal à 3.

💡 Astuce mémo

Dividende = diviseur × quotient + reste

📖 2. Multiples, diviseurs et critères

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Si $a=b\times k$ avec k naturel, alors a est un multiple de b, a est divisible par b et b est un diviseur de a.

★ À maîtriser

📌 Si b est un diviseur de a, le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

📌 Un nombre naturel est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, par 3 ou 9 si la somme de ses chiffres est divisible respectivement par 3 ou 9, par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4, par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5, par 6 s’il est divisible par 2 et par 3, et par 10 si son chiffre des unités est 0.

Compléments

• Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre a, on teste sa divisibilité par les entiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{a}$.

💡 Astuce mémo

Multiple côté résultat, diviseur côté partage

📖 3. Définition des nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier naturel qui admet exactement deux diviseurs différents : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 0 n’est pas premier car il admet une infinité de diviseurs, et 1 n’est pas premier car il n’admet qu’un seul diviseur, lui-même.

• 2 est le seul nombre pair qui soit premier.

• Les nombres premiers inférieurs à 100 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

Compléments

• Il existe une infinité de nombres premiers.

💡 Astuce mémo

Premier : exactement deux diviseurs ; 0 et 1 ne le sont pas

📖 4. Tester la primalité

★ À maîtriser

• Pour déterminer si un nombre n supérieur ou égal à 2 est premier, il suffit de vérifier qu’il n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$.

Compléments

• 139 est premier car aucun nombre premier inférieur ou égal à $\sqrt{139}$, notamment 2, 3, 5, 7 et 11, ne le divise.

💡 Astuce mémo

Borner par √n, puis tester les premiers

📖 5. Décomposition en facteurs premiers

★ À maîtriser

📌 Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 possède une décomposition unique en produit de facteurs premiers, l’ordre des facteurs n’ayant pas d’importance.

• Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, on le divise successivement par le plus petit nombre premier qui le divise jusqu’à obtenir 1.

Compléments

• La décomposition de 504 en facteurs premiers est $504=2^3\times3^2\times7$.

💡 Astuce mémo

Diviser par les plus petits facteurs jusqu’à 1

📖 6. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

★ À maîtriser

• Pour rendre une fraction irréductible, on décompose son numérateur et son dénominateur en facteurs premiers, puis on simplifie par tous leurs facteurs communs.

Compléments

• La fraction $\frac{120}{340}$ se réduit à $\frac{6}{17}$ après suppression des facteurs premiers communs.

💡 Astuce mémo

Facteurs communs supprimés → fraction irréductible

📖 7. PGCD et problèmes de lots

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Le plus grand élément de l’ensemble de leurs diviseurs communs.

★ À maîtriser

• Pour trouver un PGCD par la première méthode, on liste les diviseurs de chaque nombre, on repère les diviseurs communs, puis on choisit le plus grand et on divise les quantités pour déterminer la composition des lots.

📌 Le PGCD s’obtient en multipliant les facteurs premiers communs affectés du plus petit exposant présent dans leurs décompositions.

• Pour réaliser des lots identiques avec 132 boules et 220 étoiles, le PGCD vaut 44, donc le responsable peut créer 44 lots contenant chacun 3 boules et 5 étoiles.

Compléments

• Comme $1764=2^2\times3^2\times7^2$ et $3080=2^3\times5\times7\times11$, on obtient $PGCD(1764{,}3080)=2^2\times7=28$.

💡 Astuce mémo

Facteurs premiers communs → PGCD → nombre maximal de lots

📊 Tableaux de synthèse

Divisibilité et primalité