QCM : Nombres premiers et divisibilité — 19 questions

Explication

La division euclidienne s’écrit $a=b\times q+r$ avec un reste $r<b$. Une égalité qui ne respecte pas cette inégalité ne constitue pas une division euclidienne valide.

Explication

Dans cette écriture, le nombre multiplié par le diviseur est le quotient, soit $68$, et le terme ajouté est le reste, soit $3$. Le reste est bien inférieur au diviseur $4$.

Explication

La relation $a=b\times k$ signifie que $a$ est obtenu comme multiple de $b$, tandis que $b$ divise $a$. La confusion fréquente consiste à inverser les rôles de $a$ et de $b$.

Explication

Lorsqu’un nombre en divise un autre, la division est exacte et son reste vaut zéro. Le quotient dépend de la valeur de $a$ et de $b$, il n’est donc pas forcément égal au diviseur.

Explication

Un nombre est divisible par $6$ s’il est divisible par $2$ et par $3$. $342$ est pair et la somme de ses chiffres vaut $9$, qui est divisible par $3$, contrairement aux autres choix.

Explication

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs distincts, $1$ et lui-même. Un nombre ayant davantage de diviseurs est composé, tandis qu’un nombre n’en ayant qu’un seul ne vérifie pas cette définition.

Explication

Le nombre $0$ admet une infinité de diviseurs, tandis que $1$ n’a que lui-même comme diviseur. Aucun des deux ne possède donc exactement deux diviseurs distincts.

Explication

Le nombre $2$ possède exactement deux diviseurs, $1$ et $2$, ce qui le rend premier. Tout nombre pair supérieur à $2$ possède au moins les diviseurs $1$, $2$ et lui-même.

Explication

$97$ figure parmi les nombres premiers inférieurs à $100$. Les autres nombres proposés sont divisibles respectivement par $7$, $3$ et $5$, donc ils ont plus de deux diviseurs.

Explication

Il suffit de vérifier les nombres premiers qui ne dépassent pas $\sqrt{n}$, car un éventuel diviseur pertinent apparaît dans cette limite. Tester tous les entiers jusqu’à $n-1$ fonctionnerait parfois, mais ne correspond pas à la méthode efficace attendue.

Explication

Les nombres premiers à tester jusqu’à $\sqrt{139}$ sont notamment $2,3,5,7$ et $11$, et aucun ne divise $139$. Le fait que le nombre soit impair ne suffit pas à établir sa primalité.

Explication

La procédure consiste à diviser successivement par le plus petit facteur premier disponible jusqu’à obtenir $1$. Utiliser le plus grand diviseur ou se limiter aux nombres impairs ne garantit pas une décomposition complète en facteurs premiers.

Explication

Tout entier naturel supérieur ou égal à $2$ possède une décomposition unique en produit de facteurs premiers, sans que l’ordre des facteurs importe. Les facteurs peuvent se répéter, et la propriété concerne aussi les nombres impairs.

Explication

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que $1$. Le fait que les termes soient premiers ou que la fraction soit inférieure à $1$ ne suffit pas à établir cette propriété.

Explication

La simplification par les facteurs premiers communs transforme $\frac{120}{340}$ en $\frac{6}{17}$, dont les termes n’ont plus de facteur commun. La forme $\frac{12}{34}$ reste réductible, tandis que les deux autres fractions ne sont pas égales à la fraction initiale.

Explication

Le PGCD est le plus grand élément de l’ensemble des diviseurs communs aux deux nombres. Le plus petit diviseur commun ne correspond pas à cette définition.

Explication

Cette méthode consiste à lister les diviseurs de chaque nombre, à repérer les diviseurs communs et à choisir le plus grand avant de diviser les quantités. La recherche du plus petit multiple commun relève d’une autre démarche et ne donne pas directement le nombre maximal de lots.

Explication

Le PGCD se forme avec les facteurs premiers communs, chacun étant affecté du plus petit exposant présent dans les deux décompositions. L’emploi des plus grands exposants correspond à la règle du PPCM, pas à celle du PGCD.

Explication

Le PGCD de 132 et 220 est 44, ce qui donne 44 lots identiques ; chaque lot contient alors $132\div44=3$ boules et $220\div44=5$ étoiles. Les autres répartitions ne correspondent pas au nombre maximal de lots identiques déterminé par le PGCD.