Fiche de révision : Nombres réels

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres réels
2. Encadrements décimaux

📖 1. Ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : ensemble des abscisses des points d’une droite graduée
• Nombres naturels : ensemble des entiers positifs ou nuls
• Nombres relatifs : ensemble des entiers négatifs et positifs
• Nombres décimaux : ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, avec a entier relatif et n entier naturel
• Nombres rationnels : ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$, avec a et b entiers relatifs et b ≠ 0

★ À maîtriser

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la chaîne N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R, et les réels qui n’appartiennent pas à Q sont appelés irrationnels.

Compléments

• Les nombres 12 et 357 appartiennent à N, −3 et 56 appartiennent à Z, 3,6 et −12/10 appartiennent à D, 1/3 et 7/6 appartiennent à Q, tandis que √2 et π appartiennent à R.

• La fraction 1/3 n’est pas décimale car supposer $\frac{1}{3}=\frac{a}{10^n}$ avec a entier imposerait que $a=\frac{10^n}{3}$, donc que 10^n soit divisible par 3, ce qui est impossible.

💡 Astuce mémo

N → Z → D → Q → R

📖 2. Encadrements décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement décimal : consiste à trouver deux nombres décimaux a et b tels que a ≤ x ≤ b et b − a = 10^-n
• Amplitude : L’amplitude d’un encadrement est la différence b − a entre sa borne supérieure b et sa borne inférieure a.

📝 Points essentiels

• Un encadrement de π à 10^-3 près est 3,141 ≤ π ≤ 3,142.

💡 Astuce mémo

Plus l’amplitude est petite, plus l’encadrement est précis

📊 Tableaux de synthèse

Emboîtement des ensembles numériques