QCM : Nombres réels — 6 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant l’amplitude d’un encadrement décimal, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’amplitude de 3,141≤π≤3,1423{,}141\le\pi\le3{,}142 vaut 0,0010{,}001.
L’amplitude de 3,141≤π≤3,1423{,}141\le\pi\le3{,}142 vaut 0,0030{,}003.
Pour des bornes aa et bb, l’amplitude vaut b−ab-a.
L’amplitude se calcule en soustrayant la borne supérieure de la borne inférieure.
L’amplitude d’un encadrement est la moyenne des deux bornes.

L’amplitude de $$3{,}141\le\pi\le3{,}142$$ vaut $$0{,}001$$. · Pour des bornes $$a$$ et $$b$$, l’amplitude vaut $$b-a$$.

Explication

L’amplitude d’un encadrement est la différence entre sa borne supérieure et sa borne inférieure, soit b−ab-a. Pour π\pi, l’encadrement 3,141≤π≤3,1423{,}141\le\pi\le3{,}142 a donc une amplitude de 0,0010{,}001.

2. Les relations entre les principaux ensembles de nombres comprennent :

Q\mathbb{Q} est inclus dans D\mathbb{D}, qui est inclus dans Z\mathbb{Z}.
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.
Les entiers relatifs comprennent les entiers négatifs et positifs.
Les réels qui n’appartiennent pas à Q\mathbb{Q} sont appelés nombres irrationnels.
Les nombres naturels contiennent des entiers négatifs en plus des entiers positifs ou nuls.

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$. · Les entiers relatifs comprennent les entiers négatifs et positifs. · Les réels qui n’appartiennent pas à $$\mathbb{Q}$$ sont appelés nombres irrationnels.

Explication

Les ensembles sont emboîtés selon N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. Les réels qui n’appartiennent pas à Q\mathbb{Q} sont les irrationnels, et les entiers relatifs incluent les entiers négatifs.

3. Parmi les propositions suivantes concernant les nombres décimaux et rationnels, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Un nombre rationnel peut s’écrire ab\frac{a}{b} avec a,b∈Za,b\in\mathbb{Z} et b≠0b\neq0.
Un nombre décimal peut s’écrire a10n\frac{a}{10^n} avec a∈Za\in\mathbb{Z} et n∈Nn\in\mathbb{N}.
Dans une écriture rationnelle, le numérateur doit être strictement positif.
Tout nombre rationnel possède une écriture avec un dénominateur égal à 10n10^n.
Un nombre décimal est défini par une fraction dont le dénominateur vaut toujours 22.

Un nombre rationnel peut s’écrire $$\frac{a}{b}$$ avec $$a,b\in\mathbb{Z}$$ et $$b\neq0$$. · Un nombre décimal peut s’écrire $$\frac{a}{10^n}$$ avec $$a\in\mathbb{Z}$$ et $$n\in\mathbb{N}$$.

Explication

Un nombre décimal s’écrit sous la forme a10n\frac{a}{10^n}, avec aa entier relatif et nn naturel. Un nombre rationnel s’écrit sous la forme ab\frac{a}{b}, avec aa et bb entiers relatifs et b≠0b\neq0.

4. Concernant les ensembles N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z} et R\mathbb{R} :

Les entiers négatifs appartiennent à N\mathbb{N} et à Z\mathbb{Z}.
Z\mathbb{Z} contient les entiers négatifs et positifs.
R\mathbb{R} est l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée.
N\mathbb{N} contient les nombres réels qui ne sont pas entiers.
N\mathbb{N} contient les entiers positifs et nuls.

$$\mathbb{Z}$$ contient les entiers négatifs et positifs. · $$\mathbb{R}$$ est l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée. · $$\mathbb{N}$$ contient les entiers positifs et nuls.

Explication

Les nombres naturels sont les entiers positifs ou nuls et sont inclus dans les entiers relatifs. Les nombres négatifs appartiennent à Z mais pas à N, tandis que les nombres réels correspondent aux abscisses des points d’une droite graduée.

5. À propos des encadrements décimaux, quelles sont les réponses exactes ?

Les bornes d’un encadrement décimal sont deux nombres irrationnels.
Un encadrement de π\pi à 10−310^{-3} près est 3,141≤π≤3,1423{,}141\le\pi\le3{,}142.
Un encadrement à 10−n10^{-n} près vérifie a≤x≤ba\le x\le b.
L’écart entre les bornes d’un encadrement à 10−n10^{-n} près vaut 10−n10^{-n}.
Pour π\pi à 10−310^{-3} près, l’amplitude des bornes vaut 0,010{,}01.

Un encadrement de $$\pi$$ à $$10^{-3}$$ près est $$3{,}141\le\pi\le3{,}142$$. · Un encadrement à $$10^{-n}$$ près vérifie $$a\le x\le b$$. · L’écart entre les bornes d’un encadrement à $$10^{-n}$$ près vaut $$10^{-n}$$.

Explication

Un encadrement à 10−n10^{-n} près utilise deux nombres décimaux aa et bb vérifiant a≤x≤ba\le x\le b et b−a=10−nb-a=10^{-n}. Pour π\pi à 10−310^{-3} près, les bornes données sont 3,1413{,}141 et 3,1423{,}142, dont la différence vaut 0,001=10−30{,}001=10^{-3}.

6. Concernant l’appartenance des nombres naturels et entiers relatifs, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Un entier négatif appartient à N\mathbb{N}.
Tout nombre naturel appartient à Z\mathbb{Z}.
Un entier négatif appartient à Z\mathbb{Z}.
Le nombre zéro appartient à Z\mathbb{Z} mais pas à N\mathbb{N}.
Un entier positif appartient à N\mathbb{N}.

Tout nombre naturel appartient à $$\mathbb{Z}$$. · Un entier négatif appartient à $$\mathbb{Z}$$. · Un entier positif appartient à $$\mathbb{N}$$.

Explication

Les nombres naturels sont les entiers positifs ou nuls, tandis que les entiers négatifs n’appartiennent pas à N\mathbb{N}. En revanche, ces entiers négatifs appartiennent à Z\mathbb{Z}, conformément à l’emboîtement N⊂Z\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}.

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Qu'est-ce que l'ensemble des nombres réels R ?

L'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée.

Que contient l'ensemble N des nombres naturels ?

Les entiers positifs ou nuls.

Que regroupe l'ensemble Z des nombres entiers relatifs ?

Les entiers négatifs et positifs.

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