Fiche de révision : Nombres réels et arithmétique

📋 Plan du Cours

1. Approximation et encadrement des réels
2. Classification des ensembles numériques
3. Irrationalité de la racine de deux
4. Nombres réels et droite numérique
5. Nombres rationnels et décimaux
6. Parité des entiers
7. Multiples diviseurs et nombres premiers
8. Calculs et comparaison de fractions

📖 1. Approximation et encadrement des réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement décimal : Consiste à donner deux nombres décimaux a et b tels que a ≤ x ≤ b, l’amplitude étant b − a.
• Arrondi : Consiste à lui trouver la valeur la plus proche à une précision donnée.

📝 Points essentiels

• À 10^-2 près, π est encadré par -3,15 ≤ π ≤ -3,14 et sa valeur arrondie est -3,14.

💡 Astuce mémo

Encadrement = deux bornes ; arrondi = une valeur proche

📖 2. Classification des ensembles numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : L’ensemble des entiers positifs ou nuls : N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
• Entiers relatifs : Contient tous les entiers négatifs et positifs, dont 0 : Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
• Nombres rationnels : Un nombre qui peut s’écrire sous la forme a/b, avec a et b entiers relatifs et b ≠ 0.
• Nombres décimaux : Un nombre rationnel qui peut s’écrire sous la forme a/10^m, avec a ∈ Z et m ∈ N.

📝 Points essentiels

• Les ensembles numériques sont inclus selon la chaîne N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 3. Irrationalité de la racine de deux

📝 Points essentiels

• La démonstration par l’absurde de l’irrationalité de √2 suppose √2 = p/q avec p/q irréductible, déduit que p puis q sont pairs, et conclut que la fraction est réductible, contradiction.

💡 Astuce mémo

√2 rationnel → p et q pairs → fraction non irréductible

📖 4. Nombres réels et droite numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : L’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée, noté R, et cette droite est appelée droite numérique.
• Nombres irrationnels : Les nombres réels qui ne sont pas rationnels, comme √2 et π.

📝 Points essentiels

• √2 ≈ 1,414 représente la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1, tandis que π ≈ 3,14 représente la longueur d’un cercle de diamètre 1.

💡 Astuce mémo

Une droite graduée dont chaque abscisse représente un réel

📖 5. Nombres rationnels et décimaux

★ À maîtriser

• Le nombre 1/3 appartient à Q mais n’appartient pas à D.

Compléments

• Pour démontrer que 1/3 n’est pas décimal, on suppose 1/3 = a/10^m, puis on obtient 10^m = 3a, ce qui est impossible car 10^m n’est pas un multiple de 3.

💡 Astuce mémo

Q accepte a/b ; D impose un dénominateur 10^m

📖 6. Parité des entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre pair : S’il existe un entier relatif q tel que a = 2q.
• Nombre impair : S’il existe un entier relatif q tel que a = 2q + 1.

📝 Points essentiels

📌 Le carré d’un nombre impair est impair.

💡 Astuce mémo

Pair = 2q ; impair = 2q + 1

📖 7. Multiples diviseurs et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Si a et b sont des entiers relatifs avec b ≠ 0 et s’il existe un entier relatif q tel que a = b × q, alors a est un multiple de b et b est un diviseur de a.
• Nombre premier : Un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même; 1 n’est pas premier.
• Fraction irréductible : Lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

📝 Points essentiels

📌 La somme de deux multiples d’un entier relatif non nul b est un multiple de b.

• Les diviseurs naturels de 48 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 et 48.

💡 Astuce mémo

Diviser → factoriser → rendre irréductible

📖 8. Calculs et comparaison de fractions

★ À maîtriser

• La fraction 84/30 se réduit à 14/5 en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun 6.

📌 Pour comparer deux fractions, on peut comparer leur différence à 0 ou, si elles sont positives, comparer leur quotient à 1.

Compléments

• Comme 9/4 − 18/7 = −9/28 < 0, on a 9/4 < 18/7.

• Comme (9/4)/(18/7) = 7/8 < 1 et que les deux fractions sont positives, on a 9/4 < 18/7.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles numériques

Encadrement et arrondi