QCM : Nombres réels et arithmétique — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant l’encadrement décimal d’un réel :

Un encadrement décimal fournit deux bornes pour situer un réel.
Les bornes d’un encadrement vérifient l’inégalité a≤x≤ba \leq x \leq b.
Un encadrement décimal de x utilise deux nombres décimaux a et b.
L’amplitude d’un encadrement est donnée par a−ba-b.
L’amplitude d’un encadrement vaut la différence b−ab-a.

Un encadrement décimal fournit deux bornes pour situer un réel. · Les bornes d’un encadrement vérifient l’inégalité $$a \leq x \leq b$$. · Un encadrement décimal de x utilise deux nombres décimaux a et b. · L’amplitude d’un encadrement vaut la différence $$b-a$$.

Explication

Un encadrement décimal utilise deux bornes décimales vérifiant a≤x≤ba \leq x \leq b et son amplitude est b−ab-a. L’expression a−ba-b ne définit pas l’amplitude, et l’encadrement fournit bien deux bornes.

2. Parmi les propositions suivantes concernant l’arrondi d’un nombre, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

L’arrondi fournit deux bornes qui encadrent la valeur étudiée.
L’encadrement et l’arrondi désignent deux valeurs de même nature.
La valeur arrondie est déterminée pour une précision choisie.
Arrondir consiste à rechercher la valeur la plus proche à une précision donnée.
Un arrondi correspond à une valeur unique associée au nombre considéré.

La valeur arrondie est déterminée pour une précision choisie. · Arrondir consiste à rechercher la valeur la plus proche à une précision donnée. · Un arrondi correspond à une valeur unique associée au nombre considéré.

Explication

L’arrondi recherche la valeur la plus proche selon une précision donnée et fournit une valeur unique. L’encadrement fournit deux bornes, tandis que l’arrondi et l’encadrement ne désignent pas deux valeurs de même nature.

3. À propos de l’ensemble des entiers naturels N\mathbb{N} :

L’ensemble N\mathbb{N} contient tous les entiers négatifs.
L’ensemble N\mathbb{N} contient des entiers positifs ou nuls.
L’ensemble N\mathbb{N} est noté Z\mathbb{Z} en mathématiques.
L’ensemble N\mathbb{N} peut s’écrire {0,1,2,3,…}\{0,1,2,3,\ldots\}.
L’ensemble N\mathbb{N} contient zéro et les entiers positifs.

L’ensemble $$\mathbb{N}$$ contient des entiers positifs ou nuls. · L’ensemble $$\mathbb{N}$$ peut s’écrire $$\{0,1,2,3,\ldots\}$$. · L’ensemble $$\mathbb{N}$$ contient zéro et les entiers positifs.

Explication

Les entiers naturels comprennent zéro et les entiers positifs, soit {0,1,2,3,…}\{0,1,2,3,\ldots\}. Les entiers négatifs appartiennent à Z\mathbb{Z}, et la notation de N\mathbb{N} ne doit pas être remplacée par celle de Z\mathbb{Z}.

4. Concernant l’ensemble des entiers relatifs, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’ensemble Z\mathbb{Z} contient les entiers négatifs et positifs.
Le nombre zéro appartient à l’ensemble Z\mathbb{Z}.
L’ensemble Z\mathbb{Z} exclut les entiers négatifs.
L’ensemble Z\mathbb{Z} s’écrit {…,−2,−1,0,1,2,…}\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}.
L’ensemble Z\mathbb{Z} contient seulement les entiers positifs ou nuls.

L’ensemble $$\mathbb{Z}$$ contient les entiers négatifs et positifs. · Le nombre zéro appartient à l’ensemble $$\mathbb{Z}$$. · L’ensemble $$\mathbb{Z}$$ s’écrit $$\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$$.

Explication

L’ensemble Z\mathbb{Z} regroupe les entiers négatifs, zéro et les entiers positifs. Il inclut donc les nombres négatifs et ne se limite pas aux entiers positifs ou nuls.

5. Un nombre rationnel possède les caractéristiques suivantes :

Les nombres aa et bb sont des entiers relatifs dans cette écriture.
La forme rationnelle s’écrit nécessairement comme un quotient d’entiers naturels.
Il peut s’écrire comme un quotient a/ba/b de deux entiers relatifs.
Le dénominateur bb doit être différent de zéro.
Son écriture fractionnaire impose que le dénominateur soit nul.

Les nombres $$a$$ et $$b$$ sont des entiers relatifs dans cette écriture. · Il peut s’écrire comme un quotient $$a/b$$ de deux entiers relatifs. · Le dénominateur $$b$$ doit être différent de zéro.

Explication

Un rationnel s’écrit a/ba/b avec aa et bb entiers relatifs et b≠0b \neq 0. Le dénominateur ne peut donc pas être nul, et les entiers utilisés ne sont pas nécessairement naturels.

6. Parmi les propositions suivantes concernant les nombres décimaux, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Il peut s’écrire sous la forme a/10ma/10^m.
Dans cette écriture, aa doit appartenir à N\mathbb{N}.
L’exposant mm appartient nécessairement à Z\mathbb{Z}.
Un nombre décimal est un nombre rationnel.
L’entier aa appartient à Z\mathbb{Z} dans cette représentation.

Il peut s’écrire sous la forme $$a/10^m$$. · Un nombre décimal est un nombre rationnel. · L’entier $$a$$ appartient à $$\mathbb{Z}$$ dans cette représentation.

Explication

Un nombre décimal est rationnel et s’écrit a/10ma/10^m, avec a∈Za \in \mathbb{Z} et m∈Nm \in \mathbb{N}. Ainsi, aa n’est pas limité aux naturels et l’exposant est décrit comme naturel plutôt que comme entier relatif.

7. Concernant la démonstration par l’absurde de l’irrationalité de 2\sqrt{2} :

La contradiction finale montre que pp et qq sont de parité différente.
La divisibilité de pp et qq par deux rend la fraction réductible.
La démonstration suppose 2=p/q\sqrt{2}=p/q avec une fraction irréductible.
La démonstration déduit que pp puis qq sont divisibles par deux.
La supposition de rationalité conduit à étudier des entiers pp et qq.

La divisibilité de $$p$$ et $$q$$ par deux rend la fraction réductible. · La démonstration suppose $$\sqrt{2}=p/q$$ avec une fraction irréductible. · La démonstration déduit que $$p$$ puis $$q$$ sont divisibles par deux. · La supposition de rationalité conduit à étudier des entiers $$p$$ et $$q$$.

Explication

On suppose 2=p/q\sqrt{2}=p/q sous forme irréductible, puis le raisonnement montre que pp et qq sont tous deux pairs. La fraction devient alors réductible, ce qui contredit l’hypothèse initiale ; la conclusion ne porte donc pas sur des parités différentes.

8. Quelles sont les réponses exactes au sujet de l’irrationalité de 2\sqrt{2} ?

La réductibilité obtenue fournit la contradiction recherchée.
La conclusion établit que seul pp est divisible par deux.
La fraction choisie au départ est supposée réductible.
Le raisonnement utilise une écriture p/qp/q avec p/qp/q irréductible.
L’hypothèse de départ consiste à supposer 2\sqrt{2} rationnel.

La réductibilité obtenue fournit la contradiction recherchée. · Le raisonnement utilise une écriture $$p/q$$ avec $$p/q$$ irréductible. · L’hypothèse de départ consiste à supposer $$\sqrt{2}$$ rationnel.

Explication

La preuve par l’absurde commence en supposant 2\sqrt{2} rationnel, avec une écriture p/qp/q irréductible. Elle montre ensuite que les deux entiers sont pairs, ce qui rend la fraction réductible et crée la contradiction ; il ne s’agit donc pas du seul entier pp.

9. Concernant les nombres réels et la droite numérique :

L’ensemble des nombres rationnels contient les nombres irrationnels comme 2\sqrt{2} et π\pi.
La droite graduée représentant les nombres réels est appelée droite numérique.
Les nombres réels regroupent les nombres rationnels et les nombres irrationnels.
Les abscisses des points d’une droite graduée forment l’ensemble des nombres réels.
L’ensemble des nombres réels exclut les nombres rationnels.

La droite graduée représentant les nombres réels est appelée droite numérique. · Les nombres réels regroupent les nombres rationnels et les nombres irrationnels. · Les abscisses des points d’une droite graduée forment l’ensemble des nombres réels.

Explication

Les abscisses d’une droite graduée constituent l’ensemble des réels, et cette droite est appelée droite numérique. Les réels comprennent les rationnels et les irrationnels ; en revanche, 2\sqrt{2} et π\pi n’appartiennent pas à Q\mathbb{Q}.

10. Parmi les propositions suivantes concernant les nombres irrationnels, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le nombre 13\frac{1}{3} est un exemple de nombre irrationnel.
Le nombre π\pi appartient à l’ensemble des nombres rationnels.
Les nombres 2\sqrt{2} et π\pi sont des exemples de nombres irrationnels.
Le nombre 2\sqrt{2} est irrationnel.
Un nombre réel non rationnel est appelé nombre irrationnel.

Les nombres $$\sqrt{2}$$ et $$\pi$$ sont des exemples de nombres irrationnels. · Le nombre $$\sqrt{2}$$ est irrationnel. · Un nombre réel non rationnel est appelé nombre irrationnel.

Explication

Un irrationnel est un réel qui n’est pas rationnel, comme 2\sqrt{2} et π\pi. En revanche, 13\frac{1}{3} est rationnel, et π\pi n’appartient pas à l’ensemble des rationnels.

11. À propos des nombres rationnels et décimaux, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le nombre 13\frac{1}{3} possède une écriture décimale finie.
L’ensemble des nombres décimaux exclut les nombres rationnels.
Le nombre 13\frac{1}{3} n’appartient pas à l’ensemble des nombres décimaux.
Le nombre 13\frac{1}{3} est irrationnel.
Le nombre 13\frac{1}{3} appartient à l’ensemble des nombres rationnels.

Le nombre $$\frac{1}{3}$$ n’appartient pas à l’ensemble des nombres décimaux. · Le nombre $$\frac{1}{3}$$ appartient à l’ensemble des nombres rationnels.

Explication

Le nombre 13\frac{1}{3} est rationnel puisqu’il est un quotient d’entiers. Il n’est pas décimal, car son écriture décimale est périodique et non finie ; il n’est donc pas irrationnel.

12. Pour démontrer que 13\frac{1}{3} n’est pas un nombre décimal, quelles propositions sont exactes ?

Le nombre 10m10^m est toujours un multiple de 33.
Cette supposition conduit à l’égalité 10m=3+a10^m=3+a.
L’égalité précédente donne 10m=3a10^m=3a.
On peut supposer 13=a10m\frac{1}{3}=\frac{a}{10^m} avec des entiers adaptés.
L’impossibilité vient du fait que 10m10^m n’est pas multiple de 33.

L’égalité précédente donne $$10^m=3a$$. · On peut supposer $$\frac{1}{3}=\frac{a}{10^m}$$ avec des entiers adaptés. · L’impossibilité vient du fait que $$10^m$$ n’est pas multiple de $$3$$.

Explication

Une écriture décimale finie permet de poser 13=a10m\frac{1}{3}=\frac{a}{10^m}, puis d’obtenir 10m=3a10^m=3a. Cette égalité est impossible puisque toute puissance de dix n’est pas un multiple de trois.

13. Concernant la définition d’un entier relatif pair :

Dans cette définition, qq doit être un nombre réel quelconque.
Un entier pair s’écrit nécessairement sous la forme a=2q+1a=2q+1.
L’entier qq utilisé dans l’écriture a=2qa=2q appartient aux entiers relatifs.
La définition d’un entier pair utilise une division par deux sans reste explicite.
Un entier relatif pair s’écrit sous la forme a=2qa=2q.

L’entier $$q$$ utilisé dans l’écriture $$a=2q$$ appartient aux entiers relatifs. · Un entier relatif pair s’écrit sous la forme $$a=2q$$.

Explication

Un entier relatif aa est pair s’il existe un entier relatif qq tel que a=2qa=2q. Le paramètre qq doit donc être entier relatif, tandis que la forme 2q+12q+1 caractérise un entier impair.

14. Les caractéristiques d’un entier relatif impair comprennent :

Il existe un entier relatif qq tel que a=2q+1a=2q+1.
Un entier impair s’écrit sous la forme a=2qa=2q avec qq entier relatif.
Tout entier impair peut être représenté par a=2q+2a=2q+2.
Le paramètre qq de cette définition appartient aux nombres irrationnels.
La définition d’un entier impair ajoute une unité à un multiple de deux.

Il existe un entier relatif $$q$$ tel que $$a=2q+1$$. · La définition d’un entier impair ajoute une unité à un multiple de deux.

Explication

Un entier impair s’écrit a=2q+1a=2q+1 pour un entier relatif qq. Cette expression correspond à un multiple de deux augmenté d’une unité ; les formes 2q2q et 2q+22q+2 décrivent des entiers pairs.

15. Concernant le carré des entiers impairs, quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) ?

Le carré d’un entier impair est toujours un nombre irrationnel.
Le carré d’un entier impair est un entier impair.
Si un entier est impair, son carré conserve une parité impaire.
Le carré d’un entier impair est nécessairement un entier pair.
Le carré d’un entier pair possède une parité impaire.

Le carré d’un entier impair est un entier impair. · Si un entier est impair, son carré conserve une parité impaire.

Explication

Le carré d’un nombre impair est impair, de sorte que sa parité reste impaire après élévation au carré. Le carré d’un impair n’est pas pair ni irrationnel, et le carré d’un pair est pair.

16. Concernant les multiples et les diviseurs, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Pour a=24a=24 et b=6b=6, l’égalité 24=6×424=6\times4 établit que 24 est multiple de 6.
Pour a=24a=24 et b=6b=6, l’égalité 24=6×424=6\times4 établit que 6 divise 24.
Si a=b×qa=b\times q avec qq entier, alors aa est un multiple de bb.
Si a=b×qa=b\times q avec qq entier, alors bb est un diviseur de aa.
La relation de divisibilité utilise des entiers relatifs et impose b≠0b\neq 0.

Pour $$a=24$$ et $$b=6$$, l’égalité $$24=6\times4$$ établit que 24 est multiple de 6. · Pour $$a=24$$ et $$b=6$$, l’égalité $$24=6\times4$$ établit que 6 divise 24. · Si $$a=b\times q$$ avec $$q$$ entier, alors $$a$$ est un multiple de $$b$$. · Si $$a=b\times q$$ avec $$q$$ entier, alors $$b$$ est un diviseur de $$a$$. · La relation de divisibilité utilise des entiers relatifs et impose $$b\neq 0$$.

Explication

La relation a=b×qa=b\times q définit simultanément le fait que aa est multiple de bb et que bb divise aa. Elle concerne des entiers relatifs avec b≠0b\neq0, et l’exemple 24=6×424=6\times4 vérifie les deux formulations.

17. Parmi les propositions suivantes concernant les nombres premiers, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Un entier naturel premier possède exactement deux diviseurs naturels distincts.
Le nombre 1 n’est pas premier car il ne possède qu’un seul diviseur naturel.
Un nombre premier possède au moins trois diviseurs naturels.
Le nombre 1 est premier puisqu’il possède un diviseur positif.
Les deux diviseurs d’un nombre premier sont 1 et lui-même.

Un entier naturel premier possède exactement deux diviseurs naturels distincts. · Le nombre 1 n’est pas premier car il ne possède qu’un seul diviseur naturel. · Les deux diviseurs d’un nombre premier sont 1 et lui-même.

Explication

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. Le nombre 1 n’est pas premier, car son unique diviseur naturel est 1; il n’a donc ni deux ni trois diviseurs.

18. Concernant la réduction de la fraction 8430\frac{84}{30}, quelles sont les réponses exactes au sujet de cette opération ?

La fraction obtenue après réduction vaut 62\frac{6}{2}.
Réduire les deux termes par un même diviseur commun conserve la valeur.
Le plus grand diviseur commun de 84 et 30 vaut 6.
La division des deux termes par 6 donne 145\frac{14}{5}.
La division du seul numérateur par 6 conserve la valeur de la fraction.

Réduire les deux termes par un même diviseur commun conserve la valeur. · Le plus grand diviseur commun de 84 et 30 vaut 6. · La division des deux termes par 6 donne $$\frac{14}{5}$$.

Explication

Le plus grand diviseur commun de 84 et 30 est 6, et les deux divisions donnent 84÷6=1484\div6=14 et 30÷6=530\div6=5. Diviser les deux termes par le même diviseur commun conserve la valeur, contrairement à la modification d’un seul terme; 62\frac{6}{2} n’est pas le résultat de cette réduction.

19. Pour comparer deux fractions, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La comparaison par quotient à 1 s’applique de la même manière lorsque les fractions sont négatives.
Si deux fractions sont positives, comparer leur quotient à 1 permet de les comparer.
Une différence négative entre la première et la seconde fraction indique que la première est plus petite.
La comparaison par différence à 0 exige que les deux fractions soient positives.
Comparer leur différence à 0 permet de déterminer laquelle des deux fractions est la plus grande.

Si deux fractions sont positives, comparer leur quotient à 1 permet de les comparer. · Une différence négative entre la première et la seconde fraction indique que la première est plus petite. · Comparer leur différence à 0 permet de déterminer laquelle des deux fractions est la plus grande.

Explication

La comparaison par différence fonctionne en examinant le signe de la différence, sans condition de positivité. Le quotient comparé à 1 constitue une méthode valable lorsque les deux fractions sont positives; cette condition n’est pas requise pour la différence.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 38 flashcards sur Nombres réels et arithmétique.

Qu'est-ce qu'un encadrement décimal d'un réel x ?

Deux nombres décimaux a et b tels qu'a ≤ x ≤ b.

Comment s'appelle la différence b − a dans un encadrement décimal ?

L'amplitude de l'encadrement décimal.

Que signifie arrondir un nombre ?

Trouver la valeur la plus proche à une précision donnée.

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