Fiche de révision : Nombres réels et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Inclusion et irrationalité
3. Intervalles de nombres réels
4. Opérations et sous-ensembles

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Nombres positifs dont la partie décimale est nulle.
• Entiers relatifs : Comprennent les entiers positifs ou nuls et les entiers négatifs.
• Nombres décimaux : Nombres dont la partie décimale est finie et qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$.
• Nombres rationnels : Nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction $\frac{a}{b}$.
• Nombres réels : Ensemble des nombres x tels que $x^2 \geq 0$.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Inclusion et irrationalité

★ À maîtriser

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la relation $N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$.

• Pour démontrer que 1/3 n’est pas décimal, on suppose d’abord qu’il s’écrit a/10^n, puis on obtient 10^n = 3a, ce qui impose que 10^n soit divisible par 3, et on conclut à une contradiction.

Compléments

• Le nombre 1/3 est rationnel mais n’est pas un nombre décimal.

💡 Astuce mémo

Si 1/3 était décimal, alors 3 diviserait 10, ce qui est impossible

📖 3. Intervalles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : Ensemble des nombres réels x tels que a ≤ x ≤ b, avec les deux bornes incluses.
• Intervalle ouvert : Ensemble des nombres réels x tels que a < x < b, avec les deux bornes exclues.

★ À maîtriser

• Les intervalles [b; +∞[ et ]−∞; a] représentent respectivement les réels x tels que x ≥ b et x ≤ a.

Compléments

📌 Les crochets sont toujours ouverts au voisinage de +∞ et de −∞, car l’infini n’est pas un nombre réel.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé = borne incluse ; crochet ouvert = borne exclue

📖 4. Opérations et sous-ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des réels qui appartiennent à la fois à I et à J.
• Réunion : Ensemble des réels qui appartiennent à I ou à J.

📝 Points essentiels

• On a R = ]−∞; +∞[, R₊ = [0; +∞[, R*₊ = ]0; +∞[, R₋ = ]−∞; 0], R*₋ = ]−∞; 0[ et R* = R \ {0}.

• En retirant le nombre a de R, on obtient la réunion ]−∞; a[ ∪ ]a; +∞[.

💡 Astuce mémo

Intersection = réels communs ; réunion = réels appartenant à I ou J

📊 Tableaux de synthèse

Types d’intervalles