Fiche de révision : Nombres réels et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres réels
2. Inégalités et intervalles
3. Intersection et réunion
4. Encadrement et arrondi
5. Valeur absolue et distance
6. Démonstrations par l’absurde

📖 1. Ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Ensemble des abscisses des points d’une droite graduée.
• Entiers naturels : Ensemble {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …} des entiers positifs ou nuls.
• Entiers relatifs : Ensemble contenant tous les entiers positifs, négatifs et zéro.
• Nombres décimaux : Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme $x=\frac{a}{10^n}$ avec a ∈ Z et n ∈ N.
• Nombres rationnels : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme $x=\frac{p}{q}$ avec p ∈ Z et q ∈ N*.

★ À maîtriser

📌 Les inclusions entre les ensembles numériques sont N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Compléments

📌 Les nombres irrationnels sont les nombres réels qui ne sont pas rationnels, comme √2, π et 1/√7.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Inégalités et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Partie de l’ensemble des nombres réels définie par des inégalités et représentée à l’aide de crochets.

★ À maîtriser

📌 L’intervalle [a ; b] correspond à a ≤ x ≤ b, tandis que ]a ; b[ correspond à a < x < b.

Compléments

📌 Une borne infinie s’écrit toujours avec un crochet ouvert, comme dans ]−∞ ; a] ou [a ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Crochets inclusifs, parenthèses exclusives

📖 3. Intersection et réunion

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Réunion : Ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B, c’est-à-dire à au moins l’un des deux ensembles.

📝 Points essentiels

• Pour A = [−2 ; 3[ et B = [1 ; 4], leur intersection est [1 ; 3[.

• Pour A = ]−∞ ; 2[ et B = [5 ; 12[, leur intersection est l’ensemble vide.

💡 Astuce mémo

Intersection = à la fois ; réunion = au moins l’un des deux

📖 4. Encadrement et arrondi

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement : Trouver deux nombres réels a et b tels que a < x < b.
• Arrondi : Trouver la valeur la plus proche de ce nombre à une précision donnée.

★ À maîtriser

• L’amplitude de l’encadrement a < x < b est égale à $b-a$.

Compléments

📌 Une précision de 10^−n signifie que la valeur arrondie comporte n chiffres après la virgule.

• L’encadrement 3,14 < π < 3,15 a une amplitude de 10^−2.

💡 Astuce mémo

Chiffre suivant ≥ 5 → arrondi par excès

📖 5. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Distance entre x et 0.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel x, $|x|=\begin{cases}x & \text{si } x\ge 0\\-x & \text{si } x<0\end{cases}$.

• La distance entre deux nombres réels a et b est égale à $|a-b|$.

📌 L’ensemble défini par |x − c| < r est l’intervalle ]c − r ; c + r[, de centre c et de rayon r.

Compléments

• L’inégalité |x + 2| < 3 se réécrit |x − (−2)| < 3 et définit l’intervalle ]−5 ; 1[.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure la distance d’un nombre à zéro sur la droite graduée

📖 6. Démonstrations par l’absurde

★ À maîtriser

• Pour démontrer par l’absurde qu’une proposition est vraie, on suppose sa négation, on déduit une contradiction, puis on conclut que la proposition initiale est vraie.

📌 La démonstration de l’irrationalité de √2 suppose que √2 = p/q avec p ∈ Z et q ∈ N*, la fraction étant irréductible.

• Dans la preuve par l’absurde de l’irrationalité de √2, l’égalité supposée conduit à p² = 2q², puis à une contradiction avec l’irréductibilité de p/q.

• Pour démontrer que 1/3 n’est pas décimal, on suppose 1/3 = a/10^n avec a ∈ Z et n ∈ N, puis on utilise l’égalité obtenue par produit en croix et un critère de divisibilité par 3.

Compléments

📌 Le nombre √2 est irrationnel, tandis que 1/3 est rationnel mais non décimal.

💡 Astuce mémo

Supposition contraire → contradiction → conclusion

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles numériques