Fiche de révision : Nombres réels et puissances

📋 Plan du Cours

1. Valeur absolue et distance
2. Puissances et écriture scientifique
3. Ensembles des nombres entiers
4. Multiples, diviseurs et parité
5. Nombres décimaux et rationnels
6. Nombres réels et irrationnels

📖 1. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : le nombre égal à la distance OA lorsque A a pour abscisse a sur une droite graduée d’origine O.

📝 Points essentiels

📌 Si a ≥ 0, alors |a| = a ; si a ≤ 0, alors |a| = −a.

💡 Astuce mémo

Visualiser |a| comme la longueur OA, toujours positive.

📖 2. Puissances et écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière positive : Pour un réel a et un entier naturel non nul n, aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a.
• Puissance entière négative : Pour un réel non nul a et un entier naturel non nul n, a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• Écriture scientifique : L’écriture scientifique d’un décimal non nul x est a × 10ⁿ, où n est un entier relatif et a un décimal tel que 1 ≤ |a| < 10.

📝 Points essentiels

📌 Pour tout réel a, a⁰ = 1.

📐 Formule - Pour des réels non nuls a et b et des entiers relatifs n, $a^n \times b^n = (a \times b)^n$ et $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$.

📖 3. Ensembles des nombres entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : L’ensemble ℕ des entiers naturels contient les entiers positifs ou nuls : {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}.
• Entiers relatifs : L’ensemble ℤ des entiers relatifs contient les entiers positifs ou nuls et les entiers négatifs.

📝 Points essentiels

• L’ensemble ℕ est inclus dans ℤ, ce qui s’écrit ℕ ⊂ ℤ ; par exemple, −2 ∈ ℤ mais −2 ∉ ℕ.

📖 4. Multiples, diviseurs et parité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Pour des entiers relatifs a et b avec b non nul, a est un multiple de b, ou b un diviseur de a, s’il existe un entier q tel que a = bq.
• Nombre pair : Un entier a est pair si et seulement s’il existe un entier q tel que a = 2q.
• Nombre impair : Un entier a est impair si et seulement s’il existe un entier q tel que a = 2q + 1.

📝 Points essentiels

• 122 est un multiple de 2 car 122 = 2 × 61, et 51 est un multiple de 3 car 51 = 3 × 17.

• 51 est impair car 51 = 2 × 25 + 1.

📖 5. Nombres décimaux et rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : L’ensemble 𝔻 des nombres décimaux contient les rationnels de la forme a/10ⁿ, où a ∈ ℤ et n ∈ ℕ.
• Nombres rationnels : L’ensemble ℚ contient les nombres qui peuvent s’écrire a/b, avec a ∈ ℤ, b ∈ ℤ et b ≠ 0.

📝 Points essentiels

• Le rationnel 3/4 est décimal, car 3/4 = 75/100.

📖 6. Nombres réels et irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : L’ensemble ℝ est l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée, appelée droite numérique.
• Nombres irrationnels : Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n’est pas rationnel ; √2 et π sont des exemples d’irrationnels.

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres sont emboîtés selon l’inclusion ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Compléments

• L’ensemble ℝ des nombres réels est constitué des nombres rationnels et des nombres irrationnels.