Fiche de révision : Normes et distances vectorielles

📋 Plan du Cours

1. Définition d’une norme
2. Exemples de normes usuelles
3. Inégalité triangulaire renforcée
4. Distances et espaces métriques

📖 1. Définition d’une norme

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme : Application N : E → R qui vérifie la positivité N(x) ≥ 0 et la séparation N(x) = 0 si et seulement si x = 0_E ; le cours énumère également une quatrième propriété pour tous x et y de E, dont l’expression n’apparaît pas dans l’extrait.
• Espace vectoriel normé : Couple (E, N) constitué d’un espace vectoriel E et d’une norme N.

📖 2. Exemples de normes usuelles

★ À maîtriser

📐 Formule — Sur K^n, la norme 1 est donnée par $\|x\|_1 = \sum_{i=1}^{n}|x_i|$ pour x = (x_i)_{i=1..n}.

📐 Formule — Sur K^n, la norme 2 est donnée par $\|x\|_2 = \left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2\right)^{1/2}$.

📐 Formule — Pour p ∈ ]1, +∞[, la norme p sur K^n est donnée par $\|x\|_p = \left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p\right)^{1/p}$.

📐 Formule — La norme infinie sur K^n est donnée par $\|x\|_\infty = \sup\{|x_i| : i \in [1,n]\}$.

Compléments

• Les normes précédentes s’étendent aux espaces de dimension finie dans une base donnée, aux espaces de matrices M_{q,r}(K), aux polynômes K[X], aux fonctions continues et à certains espaces de suites.

📐 Formule — Sur C^0([a,b], K), la norme 1 de la convergence en moyenne est $\|f\|_1 = \int_a^b |f|$ et la norme 2 de la convergence en moyenne quadratique est $\|f\|_2 = \sqrt{\int_a^b |f|^2}$.

📐 Formule — La norme infinie de la convergence uniforme sur B(A,K) et C^0(A,K) est $\|f\|_\infty = \sup\{|f(x)| : x \in A\}$.

💡 Astuce mémo

Du discret au continu : vecteurs, matrices, polynômes, fonctions et suites.

📖 3. Inégalité triangulaire renforcée

📝 Points essentiels

📐 Formule — La deuxième inégalité triangulaire donnée dans le cours est $|N(x)-N(y)| \leq N(x+y)$ pour tous x et y de E.

📖 4. Distances et espaces métriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance : Application d : E × E → R+ qui vérifie la séparation d(x,y) = 0 si et seulement si x = y, la symétrie d(x,y) = d(y,x) et l’inégalité triangulaire d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).

📝 Points essentiels

• Un espace muni d’une distance est appelé espace métrique, et la distance est également appelée métrique.

💡 Astuce mémo

SSIT : Séparation, Symétrie, Inégalité triangulaire.

📊 Tableaux de synthèse

Normes usuelles sur K^n