Flashcards : Normes et distances vectorielles (16 cartes)

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1Question

Qu'est-ce qu'une norme sur un espace vectoriel E ?

Réponse

Une application N : E → R vérifiant la positivité et la séparation.

2Question

Quelle condition de positivité doit vérifier une norme N ?

Réponse

N(x) ≥ 0 pour tout x de E.

3Question

Quelle condition de séparation doit vérifier une norme N ?

Réponse

N(x) = 0 si et seulement si x = 0_E.

4Question

Qu'est-ce qu'un espace vectoriel normé ?

Réponse

Un couple (E, N) avec E un espace vectoriel et N une norme.

5Question

Quelle est la formule de la norme 1 sur K^n pour x=(x_i) ?

Réponse

$\|x\|_1 = \sum_{i=1}^{n}|x_i|$

6Question

Comment s'exprime la norme 2 sur K^n ?

Réponse

$\|x\|_2 = \left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2\right)^{1/2}$

7Question

Quelle est la formule générale de la norme p sur K^n pour p > 1 ?

Réponse

$\|x\|_p = \left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p\right)^{1/p}$

8Question

Comment se définit la norme infinie sur K^n ?

Réponse

$\|x\|_\infty = \sup\{|x_i| : i \in [1,n]\}$

9Question

Quelle est la deuxième inégalité triangulaire donnée dans le cours ?

Réponse

$|N(x)-N(y)| \leq N(x+y)$ pour tous x et y de E.

10Question

Quelles conditions doit vérifier une distance d sur E × E ?

Réponse

Séparation, symétrie et inégalité triangulaire.

11Question

À quels espaces les normes usuelles s'étendent-elles ?

Réponse

Aux espaces de dimension finie, matrices, polynômes, fonctions continues et certains espaces de suites.

12Question

Quelle est la formule de la norme 1 sur C^0([a,b], K) ?

Réponse

$\|f\|_1 = \int_a^b |f|$

13Question

Quelle est la formule de la norme 2 sur C^0([a,b], K) ?

Réponse

$\|f\|_2 = \sqrt{\int_a^b |f|^2}$

14Question

Comment se définit la norme infinie sur B(A,K) et C^0(A,K) ?

Réponse

$\|f\|_\infty = \sup\{|f(x)| : x \in A\}$

15Question

Comment s'appelle un espace muni d'une distance ?

Réponse

Un espace métrique.

16Question

Quel autre nom porte la distance dans un espace métrique ?

Réponse

La métrique.

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 10 questions sur Normes et distances vectorielles.

1. Laquelle des propriétés caractérise la séparation d’une norme sur un espace vectoriel ?

2. Si $N(x)=7$ et $N(y)=3$ , quelle borne peut-on déduire de la deuxième inégalité triangulaire pour $N(x+y)$ ?

Faire le QCM →

Consultez la fiche

Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Normes et distances vectorielles.

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