QCM : Normes et distances vectorielles (10 questions)

Question 1

1. Laquelle des propriétés caractérise la séparation d’une norme sur un espace vectoriel ?

N(x)=1

dès que

x\ne 0_E

N(x)=x

pour tout vecteur de

E

N(x)=0

pour tout vecteur de

E

N(x)=0

si et seulement si

x=0_E

Explication

La séparation impose que la norme s’annule exactement au vecteur nul. La positivité, elle, affirme que les valeurs de la norme sont non négatives, sans déterminer à elle seule le cas d’égalité.

Answer

$$N(x)=0$$ si et seulement si $$x=0_E$$

Question 2

2. Si $N(x)=7$ et $N(y)=3$ , quelle borne peut-on déduire de la deuxième inégalité triangulaire pour $N(x+y)$ ?

N(x+y)\leq 3

N(x+y)=10

N(x+y)\geq 4

N(x+y)\leq 4

Explication

En appliquant $|N(x)-N(y)|\leq N(x+y)$ , on obtient $|7-3|=4\leq N(x+y)$ . Cette relation fournit donc une borne inférieure, et non une borne supérieure, pour la norme de la somme.

Answer

$$N(x+y)\geq 4$$

Question 3

3. Comment appelle-t-on un ensemble muni d’une distance ?

Un espace métrique

Un espace vectoriel

Un espace topologique

Un espace euclidien

Explication

Un ensemble muni d’une distance est appelé espace métrique, et la distance elle-même est aussi appelée métrique. Un espace vectoriel repose sur des opérations algébriques, tandis qu’un espace euclidien possède une structure géométrique plus spécifique.

Answer

Un espace métrique

Question 4

4. Laquelle des conditions caractérise une distance sur un ensemble $E$ ?

Elle vérifie la séparation, la symétrie et l’inégalité triangulaire.

Elle impose que deux points distincts aient toujours la même distance.

Elle associe à chaque paire un nombre réel pouvant être négatif.

Elle compare chaque point à un troisième point fixé dans l’ensemble.

Explication

Une distance est une application à valeurs dans $\mathbb{R}_+$ qui satisfait la séparation, la symétrie et l’inégalité triangulaire. L’association de valeurs négatives ne convient pas, car les distances sont non négatives.

Answer

Elle vérifie la séparation, la symétrie et l’inégalité triangulaire.

Question 5

5. Quelle expression donne la norme 2 d’un vecteur $x\in K^n$ ?

\sup\{|x_i|:i\in[1,n]\}

\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2\right)^{1/2}

\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|\right)^2

\sum_{i=1}^{n}|x_i|

Explication

La norme 2 calcule la racine carrée de la somme des carrés des valeurs absolues des coordonnées. La somme simple des valeurs absolues définit la norme 1, tandis que le supremum définit la norme infinie.

Answer

$$\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2\right)^{1/2}$$

Question 6

6. Quelle inégalité exprime la deuxième inégalité triangulaire pour une norme $N$ ?

N(x+y)\leq N(x)+N(y)

|N(x)+N(y)|\leq N(x-y)

N(x-y)\leq |N(x)-N(y)|

|N(x)-N(y)|\leq N(x+y)

Explication

La deuxième inégalité triangulaire borne la valeur absolue de la différence des normes par la norme de la somme. L’inégalité $N(x+y)\leq N(x)+N(y)$ est l’inégalité triangulaire classique, qui porte directement sur la norme d’une somme.

Answer

$$|N(x)-N(y)|\leq N(x+y)$$

Question 7

7. Pour le vecteur $x=(2,-3)$ , quelle est la valeur de la norme 1 ?

\sqrt{13}

13

5

3

Explication

La norme 1 additionne les valeurs absolues des coordonnées : $\|x\|_1=|2|+|-3|=5$ . La valeur $\sqrt{13}$ correspondrait à la norme 2 de ce vecteur.

Answer

Comme un couple formé d’un espace vectoriel et d’une norme

Answer

Pour $$p\in]1,+\infty[$$

Question 8

8. Comment définit-on un espace vectoriel normé ?

Comme un couple formé d’un corps et d’une distance

Comme un espace vectoriel muni d’un produit scalaire

Comme un couple formé d’un espace vectoriel et d’une norme

Comme un espace vectoriel muni d’une base orthonormée

Explication

Un espace vectoriel normé est le couple $(E,N)$ constitué d’un espace vectoriel $E$ et d’une norme $N$ . Un produit scalaire ou une base orthonormée sont des structures supplémentaires qui ne sont pas requises par cette définition.

Question 9

9. Pour quelle expression de $p$ la formule suivante définit-elle une norme p sur $K^n$ : $\|x\|_p=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p\right)^{1/p}$ ?

Pour

p\in]-\infty,0[

Pour

p\in]1,+\infty[

Pour tout

p\in\mathbb{R}

Pour

p=0

uniquement

Explication

La formule indiquée est donnée pour $p\in]1,+\infty[$ . Les valeurs nulles ou négatives de $p$ ne correspondent pas au domaine précisé pour cette famille de normes.

Question 10

10. Pour le vecteur $x=(4,-1,3)$ , quelle est la valeur de la norme infinie ?

3

\sqrt{26}

4

8

Explication

La norme infinie est le supremum des valeurs absolues des coordonnées, donc $\|x\|_\infty=\max(4,1,3)=4$ . Elle ne consiste pas à additionner les coordonnées ni à calculer leur norme euclidienne.

QCM : Normes et distances vectorielles (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des propriétés caractérise la séparation d’une norme sur un espace vectoriel ?

2. Si $N(x)=7$ et $N(y)=3$ , quelle borne peut-on déduire de la deuxième inégalité triangulaire pour $N(x+y)$ ?

3. Comment appelle-t-on un ensemble muni d’une distance ?

4. Laquelle des conditions caractérise une distance sur un ensemble $E$ ?

5. Quelle expression donne la norme 2 d’un vecteur $x\in K^n$ ?

6. Quelle inégalité exprime la deuxième inégalité triangulaire pour une norme $N$ ?

7. Pour le vecteur $x=(2,-3)$ , quelle est la valeur de la norme 1 ?

8. Comment définit-on un espace vectoriel normé ?

9. Pour quelle expression de $p$ la formule suivante définit-elle une norme p sur $K^n$ : $\|x\|_p=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p\right)^{1/p}$ ?

10. Pour le vecteur $x=(4,-1,3)$ , quelle est la valeur de la norme infinie ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Puissances et notations scientifiques

Ptéridophytes et reproduction sexuée

Organisation fonctionnelle des plantes à fleurs

États physiques et pictogrammes

Sociologie et pouvoir politique

Structure et fonctions de la membrane

Crée tes propres QCM

QCM : Normes et distances vectorielles (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des propriétés caractérise la séparation d’une norme sur un espace vectoriel ?

2. Si N(x)=7N(x)=7N(x)=7 et N(y)=3N(y)=3N(y)=3, quelle borne peut-on déduire de la deuxième inégalité triangulaire pour N(x+y)N(x+y)N(x+y) ?

3. Comment appelle-t-on un ensemble muni d’une distance ?

4. Laquelle des conditions caractérise une distance sur un ensemble EEE ?

5. Quelle expression donne la norme 2 d’un vecteur x∈Knx\in K^nx∈Kn ?

6. Quelle inégalité exprime la deuxième inégalité triangulaire pour une norme NNN ?

7. Pour le vecteur x=(2,−3)x=(2,-3)x=(2,−3), quelle est la valeur de la norme 1 ?

8. Comment définit-on un espace vectoriel normé ?

9. Pour quelle expression de ppp la formule suivante définit-elle une norme p sur KnK^nKn : ∥x∥p=(∑i=1n∣xi∣p)1/p\|x\|_p=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p\right)^{1/p}∥x∥p​=(∑i=1n​∣xi​∣p)1/p ?

10. Pour le vecteur x=(4,−1,3)x=(4,-1,3)x=(4,−1,3), quelle est la valeur de la norme infinie ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Puissances et notations scientifiques

Ptéridophytes et reproduction sexuée

Organisation fonctionnelle des plantes à fleurs

États physiques et pictogrammes

Sociologie et pouvoir politique

Structure et fonctions de la membrane

Crée tes propres QCM

2. Si $N(x)=7$ et $N(y)=3$ , quelle borne peut-on déduire de la deuxième inégalité triangulaire pour $N(x+y)$ ?

4. Laquelle des conditions caractérise une distance sur un ensemble $E$ ?

5. Quelle expression donne la norme 2 d’un vecteur $x\in K^n$ ?

6. Quelle inégalité exprime la deuxième inégalité triangulaire pour une norme $N$ ?

7. Pour le vecteur $x=(2,-3)$ , quelle est la valeur de la norme 1 ?

9. Pour quelle expression de $p$ la formule suivante définit-elle une norme p sur $K^n$ : $\|x\|_p=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p\right)^{1/p}$ ?

10. Pour le vecteur $x=(4,-1,3)$ , quelle est la valeur de la norme infinie ?