Normes et distances vectorielles

📋 Plan du Cours

1. Définition d’une norme
2. Exemples de normes usuelles
3. Inégalité triangulaire renforcée
4. Distances et espaces métriques

📖 1. Définition d’une norme

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme : Application N : E → R qui vérifie la positivité N(x) ≥ 0 et la séparation N(x) = 0 si et seulement si x = 0_E ; le cours énumère également une quatrième propriété pour tous x et y de E, dont l’expression n’apparaît pas dans l’extrait.
• Espace vectoriel normé : Couple (E, N) constitué d’un espace vectoriel E et d’une norme N.

📖 2. Exemples de normes usuelles

★ À maîtriser

📐 Formule — Sur K^n, la norme 1 est donnée par $\|x\|_1 = \sum_{i=1}^{n}|x_i|$ pour x = (x_i)_{i=1..n}.

📐 Formule — Sur K^n, la norme 2 est donnée par $\|x\|_2 = \left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2\right)^{1/2}$.

📐 Formule — Pour p ∈ ]1, +∞[, la norme p sur K^n est donnée par $\|x\|_p = \left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p\right)^{1/p}$.

📐 Formule — La norme infinie sur K^n est donnée par $\|x\|_\infty = \sup\{|x_i| : i \in [1,n]\}$.

Compléments

• Les normes précédentes s’étendent aux espaces de dimension finie dans une base donnée, aux espaces de matrices M_{q,r}(K), aux polynômes K[X], aux fonctions continues et à certains espaces de suites.