Fiche de révision : Notions fondamentales en analyse réelle

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres réels
2. Ordre, valeur absolue et intervalles
3. Bornes, minimum, maximum et sup
4. Fonctions réelles et graphes
5. Injectivité, bijectivité et réciproque
6. Images, composition et monotonie
7. Fonctions usuelles
8. Exponentielle et logarithme
9. Suites réelles et convergence
10. Limites et continuité
11. Valeurs intermédiaires et inverses continues

📖 1. Ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Les entiers naturels forment l’ensemble N = {0, 1, 2, 3, . . .} (et N* en est la version sans 0).
• Entiers relatifs : Les entiers relatifs forment l’ensemble Z = { . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } (et Z* en est la version sans 0).
• Nombres rationnels : Les nombres rationnels forment l’ensemble Q des fractions a/b avec a ∈ Z et b ∈ Z*.
• Nombres décimaux : Les nombres décimaux forment l’ensemble D des nombres qui s’écrivent avec une puissance de 10 au dénominateur, donc avec une écriture décimale finie.
• Nombres réels : Les nombres réels forment l’ensemble R dont l’écriture décimale contient un signe (éventuel) et une suite finie ou infinie de chiffres après la virgule.

📝 Points essentiels

• N* = {1, 2, 3, . . .} et Z* = { . . . , −3, −2, −1, 1, 2, 3, . . . } retirent respectivement 0 à N et Z.
• L’inclusion se note avec ⊂ : N ⊂ Z, tandis que l’appartenance se note avec ∈ : si n ∈ N alors n ∈ Z.
• Deux fractions a/b et a’/b’ (avec b,b’ ≠ 0) sont égales si et seulement si ab’ = a’b.
• Tout nombre décimal appartient aux rationnels : D ⊂ Q, mais l’inverse est faux (exemple de 1/3).
• R contient Q : Q ⊂ R, et cette inclusion est stricte car √2 n’est pas un rationnel.
• Une même valeur réelle peut avoir plusieurs écritures décimales, par exemple 1 = 1.0 et aussi 0.99999999999 . . .

💡 Astuce mémo

Chaîne d’inclusions : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, et D ⊂ Q.

📖 2. Ordre, valeur absolue et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’ordre : Une relation d’ordre sur $\,\mathbb{R}\,$ permet de comparer deux réels et vérifie réflexivité, antisymétrie et transitivité, avec un ordre total.
• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel mesure sa distance à 0 et s’écrit $|x|=x$ si $x\ge 0$ et $|x|=-x$ si $x<0$.
• Intervalles de $\mathbb{R}$ : Un intervalle de $\mathbb{R}$ est un ensemble sans trou, où tout réel compris entre deux éléments de l’ensemble appartient aussi à l’ensemble.

📝 Points essentiels

• Pour $a,b\in\mathbb{R}$, on définit $a<b$ par $a\le b$ et $a\ne b$, et $a>b$ équivaut à $b<a$.
• Pour tout $a\in\mathbb{R}$, on a $|a|=| -a|=\sqrt{a^2}=\max(-a,a)$.
• Pour tous $a,b\in\mathbb{R}$, on a $|a\,b|=|a|\,|b|$ et $|a+b|\le |a|+|b|$.
• Pour tous $a,b\in\mathbb{R}$, on a l’inégalité triangulaire inverse $|a-b|\ge ||a|-|b||$.
• Un intervalle peut être de type $\mathbb{R}$, $\emptyset$, $\{a\}$, $[a,b]$, $[a,b[$, $]a,b]$, $]a,b[$, $[a,+\infty[$, $]a,+\infty[$, $]-\infty,a]$ ou $]-\infty,a[$.
• Dans $[a,b]$, $[a,b[$ et $]a,b]$, $a$ et $b$ sont les bords de l’intervalle, et la notation $[$/$]$ indique si l’extrémité est incluse ou non.

💡 Astuce mémo

Distance à 0 : $|x|$ ignore le signe, puis intervalle sans trou : entre deux points, tout appartient.

📖 3. Bornes, minimum, maximum et sup

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum : Le maximum d’une partie A est l’élément unique a de A qui est plus grand que tout autre élément b de A.
• Minimum : Le minimum d’une partie A est l’élément unique a de A qui est plus petit que tout autre élément b de A.
• Majorant : Un majorant de A est un réel m qui est supérieur ou égal à chaque élément de A.
• Borne supérieure sup(A) : La borne supérieure de A est le plus petit majorant de A, noté sup(A), lorsque A est non vide et majorée.

📝 Points essentiels

• Un élément est maximum (resp. minimum) si tout b ∈ A vérifie b ⩽ a (resp. b ⩾ a), et s’il existe il est unique.
• Toute partie finie A de R admet toujours un plus grand élément.
• N et [0,1[ n’admettent pas de plus grand élément, car on ne peut pas atteindre leur borne maximale.
• Une partie A est majorée si elle admet au moins un majorant et minorée si elle admet au moins un minorant.
• Si A est non vide et majorée, alors A admet une borne supérieure sup(A), qui est un plus petit majorant.
• Si A est majorée et M est un majorant, alors M = sup(A) si et seulement si pour tout ε > 0 l’ensemble A ∩ ]M − ε, M] est non vide.

💡 Astuce mémo

Pense à l’ε-proche du haut : sup(A) est le majorant « qu’on ne peut pas dépasser », car A rencontre toujours (M−ε, M] pour tout ε>0.

📖 4. Fonctions réelles et graphes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réelle : Une fonction réelle est une application qui associe à chaque réel de son domaine un unique réel de son codomaine.
• Domaine de définition : Le domaine de définition est l’ensemble de départ sur lequel une fonction est effectivement définie.
• Graphe d’une fonction : Le graphe d’une fonction f est l’ensemble des couples (x,f(x)) quand x parcourt le domaine.

📝 Points essentiels

• Si f : E → F associe à chaque x ∈ E un unique f(x) ∈ F, on l’écrit aussi f : E → F, x ↦ f(x).
• Une fonction réelle s’écrit typiquement f : A → B, où A ⊂ R est le domaine de définition et B ⊂ R le codomaine.
• Le graphe de f : E → F est Gr(f) = {(x,f(x)) : x ∈ E} ⊂ E × F.
• Un sous-ensemble A de R2 est le graphe d’une fonction réelle si et seulement si toute droite verticale intersecte A en un unique point.

💡 Astuce mémo

Graphe = couples (abscisse, image) : une droite verticale choisit exactement un point (un seul résultat pour chaque x).

📖 5. Injectivité, bijectivité et réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition de fonctions : La composition $g\circ f$ est une fonction qui envoie $x$ sur $g(f(x))$ en enchaînant deux fonctions.
• Bijection réciproque : La bijection réciproque $f^{-1}$ est la fonction qui renverse l’action d’une bijection $f$ entre deux ensembles.
• Fonction identité idA : La fonction identité $id_A$ associe à tout élément $x$ de $A$ le même élément $x$.

📝 Points essentiels

• Pour définir $g\circ f$, il faut que l’ensemble d’arrivée de $f$ soit inclus dans l’ensemble de départ de $g$.
• Si $f:E\to F$ est une bijection de réciproque $f^{-1}$, alors $f^{-1}\circ f=id_E$ et $f\circ f^{-1}=id_F$.
• La fonction $id_A:A\to A$ est définie par $id_A(x)=x$ pour tout $x\in A$.
• Pour $f:E\to F$ et $g:F\to G$, la composition $g\circ f$ est une application de $E$ vers $G$ donnée par $x\mapsto g(f(x))$.

📖 6. Images, composition et monotonie

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction partie entière : La fonction partie entière associe à tout réel $x$ l’unique entier $E(x)$ encadré par $E(x)\le x< E(x)+1$.
• Croissante (au sens large) : Une fonction est croissante sur un ensemble si elle ne diminue jamais quand l’entrée augmente.
• Croissante stricte : Une fonction est strictement croissante si des entrées différentes donnent des valeurs différentes dans le même sens.

📝 Points essentiels

• La fonction $E$ est croissante sur $\mathbb R$ mais pas strictement, car on peut avoir $E(x)=E(y)$ pour $x<y$.
• La fonction $E$ est discontinue en tout point de $\mathbb Z$.
• La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$ et réalise une bijection de $\mathbb R$ vers $]0,\infty[$.

💡 Astuce mémo

Partie entière : croissante mais avec des paliers (donc pas strictement). Exponentielle : pas de palier (strictement).

📖 7. Fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• cosh : Fonction hyperbolique définie sur $\mathbb R$ dont la parité est paire et dont la dérivée vaut $\sinh(x)$.
• sinh : Fonction hyperbolique définie sur $\mathbb R$ dont la parité est impaire et dont la dérivée vaut $\cosh(x)$.
• tanh : Fonction hyperbolique définie sur $\mathbb R$ dont la parité est impaire et dont la dérivée vaut $1-\tanh^2(x)$.
• Puissance réelle $x^a$ : Fonction $x\mapsto x^a$ définie pour $x\in\mathbb R^*_+$ via $x^a=\exp(a\ln(x))$, en généralisant des cas de polynômes et racines.

📝 Points essentiels

• Pour tout $x\in\mathbb R$, on a $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$, $\cosh(x)+\sinh(x)=e^x$ et $\cosh(x)-\sinh(x)=e^{-x}$.
• Pour tous $x,y\in\mathbb R$, on a $\cosh(x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)$ et $\sinh(x+y)=\cosh(x)\sinh(y)+\sinh(x)\cosh(y)$.
• Pour tout $x>0$ et tout $a\in\mathbb R$, la fonction $x\mapsto x^a$ est dérivable et sa dérivée vaut $a x^{a-1}$.
• Pour $a=1/n$ avec $n\in\mathbb N^*$ pair, $x^a$ est définie pour $x\ge 0$, et pour $n$ impair, elle est définie pour $x\in\mathbb R$.
• Pour tous $a,b,c\in\mathbb R^*_+$, on a $\lim_{x\to+\infty} \frac{e^{ax}}{x^b}=+\infty$, $\lim_{x\to+\infty} e^{ax}(\ln x)^c=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty} \frac{x^b}{(\ln x)^c}=+\infty$.

💡 Astuce mémo

Identité-cœur : $\cosh^2-\sinh^2=1$ et dérivée : $(\tanh)'=1-\tanh^2$.

📖 8. Exponentielle et logarithme

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle : Fonction de base e qui apparaît via exp(·) pour réécrire des produits sous une forme permettant d’étudier leurs limites.
• Logarithme naturel : Fonction ln(·) utilisée pour transformer des produits en sommes dans une expression de type ln(un) avant d’appliquer l’exponentielle.
• Réécriture par exp et ln : Transformation qui écrit $u_n^{v_n}$ comme exp($v_n\,\ln(u_n)$) quand $u_n>0$ pour étudier la limite via celle de $v_n\ln(u_n)$.

📝 Points essentiels

• Si $u_n$ est strictement positif, alors u_n^{v_n}=\exp\!ig(v_n\ln(u_n)\big) et l’étude de la limite se ramène à celle de $v_n\ln(u_n)$.
• Quand $v_n\to+\infty$ (ou $\pm\infty$) et $\ln(u_n)\to0$, on obtient la forme indéterminée $1^{\infty}$, qui correspond à $u_n^{v_n}\to1$.
• Quand $v_n\to0$ et $\ln(u_n)\to-\infty$, on obtient la forme indéterminée $0^0$, qui correspond à $u_n^{v_n}\to0$.
• Quand $v_n\to0$ et $\ln(u_n)\to+\infty$, on obtient la forme indéterminée $\infty^0$, qui correspond à $u_n^{v_n}\to+\infty$.

💡 Astuce mémo

exp( puissance ) : $u_n^{v_n}=\exp(v_n\ln u_n)$ ; repère ensuite le couple $(v_n,\ln u_n)$ pour déduire la forme $1^{\infty}$, $0^0$ ou $\infty^0$.

📖 9. Suites réelles et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite extraite : Une sous-suite est obtenue en prenant des termes u_{(n)} avec une fonction  :  →  strictement croissante.
• Théorème de Bolzano-Weierstrass : Toute suite réelle bornée admet au moins une sous-suite qui converge vers un réel.
• Convergence vers +∞ : Une suite converge vers +∞ si elle finit par dépasser tout réel A, quel que soit A.
• Suite de Cauchy : Une suite est de Cauchy si, à partir d’un rang, tous ses termes sont à distance arbitrairement petite.

📝 Points essentiels

• Si une suite est croissante et majorée, elle converge vers une limite réelle ℓ.
• Si une suite extraite d’une suite convergente converge, elle converge vers la même limite.
• Toute suite bornée admet une sous-suite convergente (Bolzano-Weierstrass).
• Une suite croissante non bornée diverge vers +∞.
• Si u_n ≤ v_n et u_n → +∞, alors v_n → +∞, et si v_n → −∞ alors u_n → −∞ quand u_n ≤ v_n.
• Une suite est de Cauchy si et seulement si elle converge vers un réel ℓ.

💡 Astuce mémo

Croissante + majorée ⇒ convergence ; Cauchy ⇔ convergence.

📖 10. Limites et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite de fonction : La limite d’une fonction en un point ou à l’infini décrit la valeur que prend la fonction quand l’entrée se rapproche de la position visée, avec contrôle par $\varepsilon-\delta$.
• Caractérisation séquentielle : Une limite de fonction peut s’identifier grâce aux limites des images de toutes les suites dont les termes convergent vers la position considérée.
• Continuité en un point : Une fonction est continue en $x_0$ lorsque la limite de la fonction en $x_0$ coïncide avec sa valeur en $x_0$.
• Prolongement par continuité : Le prolongement par continuité consiste à définir la valeur manquante d’une fonction au point $x_0$ par une limite commune gauche et droite pour obtenir une fonction continue.
• Théorème des valeurs intermédiaires : Le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu’une fonction continue sur un segment prend toute valeur entre deux valeurs prises aux bornes.

📝 Points essentiels

• Si $\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell$, alors pour tout $\varepsilon>0$ il existe $\delta>0$ tel que $|x-x_0|\le\delta$ implique $|f(x)-\ell|\le\varepsilon$.
• On a $\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell$ si et seulement si pour toute suite $(u_n)$ avec $u_n\to x_0$, on a $f(u_n)\to\ell$.
• Si $\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell_1$ et $\lim_{x\to x_0} g(x)=\ell_2$, alors $\lim_{x\to x_0}(af+bg)(x)=a\ell_1+b\ell_2$ et $\lim_{x\to x_0}(fg)(x)=\ell_1\ell_2$.
• Pour une fonction monotone sur un intervalle, des limites existent aux bords de l’intervalle (finie ou infinie) et les limites gauche/droite encadrent la valeur en $x_0$ selon le sens de monotonie.
• Pour un point intérieur $x_0$, la continuité en $x_0$ équivaut à la continuité à gauche et à la continuité à droite en $x_0$.
• Si $f$ est continue sur $[a,b]$, alors pour tout $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$ il existe $x\in[a,b]$ tel que $f(x)=y$.

💡 Astuce mémo

$\varepsilon$-monde : on rend $f(x)$ aussi proche que $\ell$ en enfermant $x$ dans une boule de rayon $\delta$ autour de $x_0$. Puis “toute suite” confirme la limite (caractérisation séquentielle).

📖 11. Valeurs intermédiaires et inverses continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Image continue d’un intervalle : Propriété : l’image d’un intervalle par une fonction continue est encore un intervalle.
• Propriété de bijection monotone : Résultat : une fonction continue et strictement monotone réalise une bijection entre son domaine et son image, avec réciproque bien définie.
• Réciproque continue : Résultat : si $f$ est continue et strictement monotone, alors $f^{-1}$ est strictement monotone et continue.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $y$ vérifie $f(a)\le y\le f(b)$ ou $f(b)\le y\le f(a)$, alors il existe $x\in[a,b]$ tel que $f(x)=y$.
• Pour une fonction continue $f$ sur un intervalle $I$, l’ensemble $f(I)$ est un intervalle : tout nombre entre deux valeurs de $f$ est atteint.
• Pour un segment $I=[a,b]$ et une fonction continue $f$, $f$ est bornée, atteint ses bornes et $f(I)$ est un segment.
• Si $f$ est strictement croissante sur $[a,b]$, alors $f([a,b])=[f(a),f(b)]$, et si $f$ est strictement décroissante, alors $f([a,b])=[f(b),f(a)]$.
• Si $f:I\to J$ est continue et injective sur un intervalle, alors $f$ est strictement monotone, bijective sur $J=f(I)$, et sa réciproque est strictement monotone et continue.

💡 Astuce mémo

Continu = pas de saut : entre $f(a)$ et $f(b)$, la fonction prend toutes les valeurs, et une monotone injective possède une inverse continue.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions entre ensembles de nombres

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre les symboles ⊂ (inclusion) et ∈ (appartenance), par exemple écrire que Z ⊂ N au lieu de Z̸ ⊂ N.
2. Croire que deux fractions a/b et a′/b′ sont égales sans la condition ab′ = a′b, ou oublier b,b′ ≠ 0.
3. Dire qu’un nombre décimal appartient à D uniquement s’il a la forme 0,3 plutôt que considérer “suite finie de chiffres après la virgule”.
4. Penser que la relation d’ordre permet de soustraire “comme des égalités” : en fait on ne soustrait pas des inégalités sans précautions (voir exemple 2⩽3 et 1⩽4).
5. Mélanger intervalles et types : confondre [a,b] (bords inclus) avec [a,b[ ou ]a,b[ (un bord exclu).
6. Croire que sup(A) est un maximum : en général sur N ou [0,1[, la borne supérieure n’est pas atteinte.
7. Penser que la continuité se vérifie seulement “au point” sans gauche/droite : à un bord, la notion de limite à gauche/à droite correspond à la continuité adaptée.

✅ Checklist Examen

1. Définir N, N*, Z, Z* puis donner la définition de Q = {a/b : a∈Z, b∈Z*}.
2. Expliquer la définition de D (décimaux) et justifier D ⊂ Q, puis rappeler que l’inclusion réciproque est fausse (exemple 1/3).
3. Donner la définition de R (écriture décimale finie ou infinie avec signe éventuel) et rappeler pourquoi Q ⊂ R strict (ex : √2).
4. Manipuler l’ordre sur R : traduire a<b via a⩽b et a≠b, et rappeler les règles de changement de sens avec un facteur négatif.
5. Calculer/raisonner avec la valeur absolue : définition par cas, propriétés |ab|=|a||b|, inégalités triangulaires et triangulaire inverse.
6. Savoir classer un intervalle et lire ses bords : donner la forme exacte de [a,b], [a,b[, ]a,b], ]a,b[, [a,+∞[, ]-∞,a], ]-∞,a[.
7. Définir maximum/minimum, majorant/minorant, puis donner la définition et la caractérisation de sup(A) par l’ensemble A∩]M−ε,M] non vide.
8. Reconnaître le lien “maximum/minimum” vs “borne supérieure non atteinte” (ex : N et [0,1[).
9. Définir une fonction f:E→F, son graphe Gr(f), et appliquer le critère : toute droite verticale coupe le graphe en un point unique.
10. Donner les définitions : image f(A), image directe Im(f), image réciproque f^{-1}(B), puis rappeler la règle de composition g∘f et la condition d’applicabilité.
11. Maîtriser injectivité/surjectivité/bijectivité (et la caractérisation par droites horizontales sur le graphe) et les formules réciproques f^{-1}∘f=id_E et f∘f^{-1}=id_F.
12. Traiter monotonie et partie entière : énoncer que E est croissante mais pas strictement, discontinue en tout point de Z.
13. Connaître les identités-clés et dérivées données : (i) partie entière E : encadrement E(x)⩽x<E(x)+1 ; (ii) exponentielle ln/exp ; (iii) cosh^2−sinh^2=1 et (tanh)'=1−tanh^2 ; (iv) puissance x^a=exp(a ln x) sur R*_+.
14. Énoncer les définitions de convergence de suite et limite à +∞/−∞, puis appliquer un théorème : unicité de la limite, suites croissantes majorées → convergentes, Bolzano-Weierstrass (bornée ⇒ sous-suite convergente).