1. Quel ensemble contient exactement les entiers naturels sans le zéro ?
N*
D
Q
Z*
N*
Explication
L’ensemble N* est la version de N sans 0, donc il contient 1, 2, 3, etc. Z* enlève 0 à Z, tandis que Q et D désignent d’autres familles de nombres.
N*
Explication
L’ensemble N* est la version de N sans 0, donc il contient 1, 2, 3, etc. Z* enlève 0 à Z, tandis que Q et D désignent d’autres familles de nombres.
D ⊂ Q
Explication
Tout nombre décimal a une écriture fractionnaire, donc D est inclus dans Q. En revanche, 1/3 est rationnel sans être décimal fini, donc Q n’est pas inclus dans D.
Sa distance à 0
Explication
La valeur absolue mesure la distance du réel à 0, en ignorant son signe. Par exemple, |−3| = 3.
C’est un ensemble sans trou
Explication
Un intervalle est un ensemble dans lequel tout réel situé entre deux éléments appartient aussi à l’ensemble. Il peut être borné ou non, et ses extrémités peuvent être incluses ou non.
C’est le plus petit des majorants
Explication
La borne supérieure, notée sup(A), est le plus petit majorant de A. Elle n’est pas forcément atteinte, donc elle n’est pas nécessairement un maximum.
Parce que la borne maximale n’est pas atteinte
Explication
Dans [0,1[, la valeur 1 majore l’ensemble, mais elle n’appartient pas à l’ensemble. On ne peut donc pas trouver d’élément qui soit plus grand que tous les autres.
Toute droite verticale le coupe en un seul point
Explication
Le graphe d’une fonction associe à chaque x une unique image, donc une droite verticale ne peut rencontrer le graphe qu’en un seul point. La propriété des droites horizontales concerne plutôt l’injectivité.
L’ensemble des valeurs de départ où la fonction est définie
Explication
Le domaine de définition est l’ensemble des entrées pour lesquelles la fonction est effectivement définie. Les images forment un autre ensemble, appelé ensemble d’arrivée ou image selon le contexte.
Quand deux éléments distincts du domaine ont des images distinctes
Explication
L’injectivité signifie que des entrées différentes donnent des images différentes. La surjectivité concerne le fait d’atteindre tout le codomaine, ce qui est une autre propriété.
f^{-1}∘f = id_E
Explication
Pour une bijection f:E→F, la réciproque vérifie f^{-1}∘f = id_E et aussi f∘f^{-1} = id_F. L’identité dépend donc de l’ensemble de départ concerné.
L’ensemble d’arrivée de f doit être inclus dans l’ensemble de départ de g
Explication
Pour composer g∘f, il faut que les valeurs produites par f puissent être prises en entrée par g. Cela signifie que l’ensemble d’arrivée de f doit être inclus dans l’ensemble de départ de g.
Elle est croissante mais pas strictement croissante
Explication
La fonction partie entière ne diminue jamais quand x augmente, mais elle reste constante sur des intervalles entiers. Elle n’est donc pas strictement croissante.
Elle est strictement croissante sur ℝ et réalise une bijection de ℝ vers ]0,+∞[
Explication
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ et son image est ]0,+∞[. Cette propriété en fait une bijection de ℝ vers les réels strictement positifs.
cosh²(x) − sinh²(x) = 1
Explication
L’identité fondamentale indiquée est cosh²(x) − sinh²(x) = 1. Les autres propositions contredisent les relations rappelées sur ces fonctions hyperboliques.
Sur ℝ₊*
Explication
La fonction x↦x^a est définie pour x strictement positif via exp(a ln x). C’est pourquoi son domaine de base est ℝ₊*.
u_n^{v_n} = exp(v_n ln(u_n))
Explication
Quand u_n>0, on peut écrire u_n^{v_n} sous la forme exp(v_n ln(u_n)). Cette transformation ramène l’étude de la puissance à celle de v_n ln(u_n).
Elle admet au moins une sous-suite convergente
Explication
Le théorème de Bolzano-Weierstrass affirme qu’une suite réelle bornée possède au moins une sous-suite convergente. Être bornée ne suffit pas à rendre la suite entière convergente.
Elle converge vers une limite réelle
Explication
Une suite croissante majorée converge vers une limite réelle. C’est un critère classique de convergence des suites réelles.
La limite en x₀ existe et est égale à f(x₀)
Explication
Une fonction est continue en x₀ lorsque sa limite en x₀ coïncide avec sa valeur en x₀. La dérivabilité est une notion plus forte et n’est pas requise.
Elle prend toute valeur entre f(a) et f(b)
Explication
Le théorème des valeurs intermédiaires assure qu’une fonction continue sur un segment prend toutes les valeurs situées entre ses valeurs aux bornes. C’est une propriété de continuité, pas d’injectivité.
L’image de l’intervalle est encore un intervalle
Explication
Une fonction continue sur un intervalle a pour image un intervalle : entre deux valeurs prises, elle prend toutes les valeurs intermédiaires. Ce résultat ne dit pas qu’elle est injective ni qu’elle ne prend que les valeurs des bornes.
Sa réciproque est strictement monotone et continue
Explication
Une fonction continue et strictement monotone est bijective sur son image, et sa réciproque est elle aussi strictement monotone et continue. L’option sur l’image est fausse, car l’image d’un intervalle par une fonction continue est encore un intervalle.
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Nombres naturels — définition ?
Entiers non négatifs, N = {0,1,2,...}.
Nombres entiers relatifs — définition ?
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
Nombres rationnels — définition ?
Fractions a/b avec a∈Z, b∈Z*.
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