Fiche de révision : Notions fondamentales sur les polynômes

📋 Plan du Cours

1. Anneau des polynômes et notations
2. Degré et coefficient dominant
3. Degré d’une somme et cas d’égalité
4. Division euclidienne et divisibilité
5. PGCD et identité de Bezout
6. Racines et principe du prolongement algébrique
7. Dérivation formelle et linéarité
8. Formule de Taylor dans K[X
9. Racines multiples et multiplicité
10. Décomposition en irréductibles dans K[X
11. Irreductibles dans C[X] et R[X
12. Polynômes interpolateurs de Lagrange

📖 1. Anneau des polynômes et notations

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme formel : Un polynôme formel à coefficients dans un corps K est une suite d’éléments de K qui devient nulle à partir d’un certain rang.
• Espace K[X] : L’ensemble des polynômes en l’indéterminée X à coefficients dans K est noté K[X].
• Notation P=∑ akX^k : Un polynôme P de K[X] s’écrit en général sous la forme P=∑_{k=0}^n a_k X^k avec a_k∈K.
• Polynôme nul : Le polynôme nul est celui dont tous les coefficients sont nuls, noté 0_{K[X]} (ou parfois 0).
• Addition dans K[X] : L’addition de deux polynômes de K[X] se fait coefficient par coefficient, en additionnant les coefficients de même puissance.

📝 Points essentiels

• Un polynôme de K[X] est une écriture finie : seuls un nombre fini de coefficients a_k sont non nuls.
• L’écriture en coordonnées (a_0,00,0,a_n) correspond à P=00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
• Si P=∑{k=0}^n a_k X^k et Q=∑{k=0}^n b_k X^k, alors P+Q=∑_{k=0}^n (a_k+b_k)X^k.
• Le polynôme nul 0_{K[X]} est l’élément neutre pour l’addition dans K[X].
• L’ensemble K[X] est construit à partir d’un corps K : les coefficients appartiennent à K et les opérations se font dans K.

💡 Astuce mémo

Suite finie de coefficients : « après un rang, tout s’éteint » ; addition = « même puissance, mêmes coefficients ».

📖 2. Degré et coefficient dominant

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré d’un polynôme : Le degré d’un polynôme non nul est le plus grand exposant $k$ dont le coefficient $a_k$ n’est pas nul.
• Polynôme nul : Le polynôme nul est celui dont tous les coefficients sont nuls, noté $0_{K[X]}$ (ou 0).
• Convention deg(0) : Par convention, le degré du polynôme nul vaut -.
• Coefficient dominant : Le coefficient dominant d’un polynôme non nul est le coefficient associé à son terme de plus haut degré.
• Degré d’un produit : Le degré d’un produit de polynômes est la somme des degrés de chacun des facteurs.

📝 Points essentiels

• Si P= a_kX^k est non nul, alors $\deg(P)=\max\{k\in\mathbb N\mid a_k\neq 0\}$.
• La convention $\deg(\tilde 0)=-\infty$ permet d’énoncer les règles de degré sans cas particuliers.
• Pour tous polynômes $P,Q$, on a $\deg(P+Q)\le \max(\deg(P),\deg(Q))$.
• Si $\deg(P)\neq \deg(Q)$, alors $\deg(P+Q)=\max(\deg(P),\deg(Q))$.
• Si $\deg(P)=\deg(Q)$, alors $\deg(P+Q)=\deg(P)$ exactement quand la somme des coefficients dominants n’est pas nulle.
• Pour tous polynômes $P,Q$, on a $\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$.

💡 Astuce mémo

Somme : le degré ne dépasse jamais le plus grand; produit : degrés s’additionnent; nul : $-\infty$.

📖 3. Degré d’une somme et cas d’égalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré d’un polynôme : Le degré d’un polynôme non nul est l’exposant maximal apparaissant avec un coefficient non nul.
• Coefficient dominant : Le coefficient dominant d’un polynôme non nul est le coefficient du terme de plus haut degré.
• Polynôme nul : Le polynôme nul est le polynôme identiquement égal à 0, pour lequel le degré et le coefficient dominant ne sont pas définis.
• Polynômes associés : Deux polynômes sont associés s’ils se divisent mutuellement, c’est-à-dire si chacun divise l’autre.

📝 Points essentiels

• Pour P,Q dans K[X], deg(P+Q)=max(deg(P),deg(Q)) sauf cas d’annulation du terme de plus haut degré.
• Si deg(P)≠deg(Q), alors deg(P+Q)=max(deg(P),deg(Q)).
• Si deg(P)=deg(Q), alors deg(P+Q)<deg(P) exactement quand cd(P)+cd(Q)=0.
• Le cas d’égalité deg(P+Q)=max(deg(P),deg(Q)) avec deg(P)=deg(Q) exige cd(P)+cd(Q)≠0.
• P·Q=0 dans K[X] si et seulement si P=0 ou Q=0.
• Le coefficient dominant cd(P) n’est pas défini pour le polynôme nul 0̃.

💡 Astuce mémo

Somme des degrés : max(deg) sauf si les coefficients dominants s’annulent (cd(P)+cd(Q)=0).

📖 4. Division euclidienne et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynômes associés : Deux polynômes de K[X] sont associés s’ils se divisent mutuellement, c’est-à-dire si chacun divise l’autre.
• Division euclidienne : La division euclidienne dans K[X] décompose tout couple (A,B) avec B≠0 en A=BQ+R avec un reste de degré strictement plus petit que celui de B.
• PGCD de deux polynômes : Le PGCD de P et Q est le polynôme unitaire Δ tel que l’ensemble des diviseurs communs de P et Q soit exactement l’ensemble des diviseurs de Δ.
• Div(P) : Div(P) désigne l’ensemble des diviseurs de P dans K[X].
• Bézout dans K[X] : Le théorème de Bézout affirme qu’il existe U et V dans K[X] tels que PU+QV soit égal au PGCD de P et Q.

📝 Points essentiels

• P et Q sont associés si et seulement s’il existe λ∈K* tel que Q=λP.
• Deux polynômes sont associés exactement quand ils diffèrent d’un facteur inversible non nul de K.
• Exemple : 2X+2 et X+1 sont associés, car l’un est un multiple inversible de l’autre.
• Exemple : X^2 et X ne sont pas associés, car X^2 n’est pas un multiple inversible de X.
• Pour A,B∈K[X] avec B≠0, il existe un couple unique (Q,R) tel que A=BQ+R et deg(R)<deg(B).
• Corollaire : P divise Q si et seulement si le reste de la division euclidienne de Q par P est nul (R=0).

💡 Astuce mémo

Associés = même forme à une constante inversible près (λ∈K*), Division = A=BQ+R avec deg(R) < deg(B).

📖 5. PGCD et identité de Bezout

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD de polynômes : Le PGCD de deux polynômes est leur diviseur commun maximal, défini à une constante près dans $K[X]$.
• Identité de Bezout : L’identité de Bezout exprime le PGCD comme combinaison linéaire des deux polynômes, avec des coefficients dans $K[X]$.
• Polynômes premiers entre eux : Deux polynômes sont premiers entre eux quand leur PGCD vaut $1$ (à une constante près) dans $K[X]$.
• Lemme de Gauss (dans K[X]) : Le lemme de Gauss relie divisibilité et coprimalité : si un polynôme divise un produit et est premier avec l’autre facteur, alors il divise le troisième.
• Conséquence multiplicative : La conséquence affirme qu’en présence de deux racines distinctes, la divisibilité par chacun des facteurs entraîne la divisibilité par leur produit.

📝 Points essentiels

• Dans $K[X]$, l’algorithme d’Euclide permet de déterminer un couple $(U,V)$ tel que $PU+QV= ext{PGCD}(P,Q)$, mais les calculs peuvent être lourds.
• Propriété (Bezout pour la coprimalité) : il existe (U,V)K[X] tel que $PU+QV=1$ si et seulement si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux.
• Exemple fondamental : si  eq ' (scalaires distincts), alors (X-) et (X-') sont premiers entre eux.
• Lemme de Gauss : si $P|QR$ et P ext{PGCD}(P,Q)=1 (i.e. $P ext{ et }Q$ premiers entre eux), alors $P|R$.
• Propriété 6 : si $P|R$, $Q|R$ et $P$ et $Q$ sont premiers entre eux, alors $PQ|R$.
• Conséquence racines distinctes : si (X-)|P et (X-')|P avec  eq ', alors (X-)(X-')|P.

💡 Astuce mémo

Bezout = « coprimalité  combinaison  1 » : $PU+QV=1$  $P,Q$ premiers entre eux ; puis Gauss  « deux divisibilités + coprimalité  produit divise ».

📖 6. Racines et principe du prolongement algébrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Une racine d’un polynôme P ∈ K[X] est un scalaire α ∈ K tel que la valeur P(α) soit nulle.
• Factorisation par (X − α) : La factorisation par (X − α) relie l’annulation en α à la divisibilité du polynôme par le facteur linéaire X − α.
• Racines distinctes : Des racines α1,…,αn sont dites deux à deux distinctes lorsqu’aucune d’elles n’est égale à une autre.
• Nombre maximal de racines : Le nombre maximal de racines d’un polynôme non nul de degré n est au plus n, si les racines sont comptées sans multiplicité.
• Principe du prolongement algébrique : Le principe du prolongement algébrique affirme que deux polynômes coïncidant en n+1 points distincts de Kn[X] sont égaux.

📝 Points essentiels

• Si P(α)=0, alors le reste de la division euclidienne de P par (X−α) est nul, et réciproquement.
• Pour P ∈ K[X] et α ∈ K, α est racine de P si et seulement si (X−α) divise P.
• Si α1,…,αn sont deux à deux distincts, alors P admet ces racines si et seulement si ∏_{i=1}^n (X−αi) divise P.
• Si deg P = n avec n≥1, alors P possède au plus n racines (distinctes).
• Si P a exactement n racines distinctes α1,…,αn, alors P = cd(P)∏_{i=1}^n (X−αi).
• Si P et Q ∈ Kn[X] coïncident en n+1 scalaires deux à deux distincts, alors P=Q.

💡 Astuce mémo

Racines→facteurs : P(α)=0 ⇔ (X−α)|P ; Prolongement : n+1 points distincts suffisent pour imposer l’égalité.

📖 7. Dérivation formelle et linéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivation formelle : La dérivation formelle associe à tout polynôme de K[X un autre polynôme obtenu en appliquant la règle de dérivation terme à terme.
• Polynôme dérivé : Le polynôme dérivé P′ est défini à partir de P en faisant décroître les puissances et en multipliant chaque coefficient par son exposant.
• Dérivée n-ième : La dérivée n-ième P(n) est obtenue en dérivant récursivement n fois le polynôme, avec P(0)=P.
• Application linéaire de la dérivation : La dérivation est une application linéaire de K[X] dans K[X] car elle respecte les combinaisons linéaires.

📝 Points essentiels

• Si P est non constant de degré deg(P)≥1, alors P′ est de degré deg(P)−1.
• Si P est constant, alors P′ vaut le polynôme nul.
• Si deg(P)≥1, alors le coefficient dominant de P′ vaut deg(P) fois le coefficient dominant de P.
• Pour tout λ,μ∈K et P,Q∈K[X], on a (λP+μQ)′=λP′+μQ′.
• La dérivée n-ième est définie par P(0)=P et P(n)=(P(n−1))′ pour n≥1.
• Si P=X^3+4X^2+1, alors P′=3X^2+8X, P′′=6X+8 et P(3)=6, puis P(n)=0 pour tout n≥4.

💡 Astuce mémo

Degré −1 : dériver fait tomber l’exposant, donc le degré baisse d’une unité; linéarité : dériver se distribue sur somme et scalaires.

📖 8. Formule de Taylor dans K[X

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée n-ième : La dérivée n-ième d’un polynôme est définie par récurrence en posant P(0)=P puis P(n)=(P(n−1))′ pour n≥1.
• Application linéaire P → P(n) : Associer à chaque polynôme son n-ième dérivé définit une application linéaire de K[X] vers K[X].
• Formule de Taylor en α : La formule de Taylor dans K[X] exprime un polynôme comme somme finie de ses dérivées successives évaluées en α.
• Formule de Taylor en 0 : La formule de Taylor en 0 donne l’écriture d’un polynôme en puissances de X à partir de ses dérivées successives en 0.
• Racine multiple : Une valeur α est une racine de multiplicité au moins m (resp. exactement m) si (X−α)^m divise P (resp. si (X−α)^m divise P mais pas (X−α)^{m+1}).

📝 Points essentiels

• Pour tout n≥1, on a P(n)=(P(n−1))′ et P(0)=P, ce qui rend les dérivées successives entièrement déterminées.
• Si deg(P)=n, alors P(k)=0 pour tout k≥n+1, ce qui supprime tout reste de type « petit o » dans Taylor.
• Linéarité : pour tous λ,μ∈K et P,Q∈K[X], on a (λP+μQ)(n)=λP(n)+μQ(n).
• Taylor en α : si P∈K[X] non nul et n=deg(P), alors P=∑_{k=0}^{n} P(k)(α)/k! · (X−α)^k.
• Taylor en 0 : si P∈K[X] non nul et n=deg(P), alors P=∑_{k=0}^{n} P(k)(0)/k! · X^k.
• Les deux formules sont liées : Taylor en 0 est un corollaire immédiat de Taylor en α en prenant α=0.

💡 Astuce mémo

Rang→zéro : après deg(P), les dérivées successives s’éteignent, donc Taylor devient une somme finie sans reste.

📖 9. Racines multiples et multiplicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiplicité d’une racine : La multiplicité d’une racine α est le plus grand entier m tel que (X−α)^m divise le polynôme P.
• Racine simple : Une racine α est dite simple lorsque (X−α) divise P mais (X−α)^2 ne divise pas P.
• Racine de multiplicité au moins m : Une racine α est de multiplicité au moins m lorsque (X−α)^m divise P.
• Polynôme irréductible : Un polynôme non constant P de K[X est irréductible si ses seuls diviseurs dans K[X sont les polynômes associés à P et à 1.

📝 Points essentiels

• Si (X−α)^m divise P mais pas (X−α)^{m+1}, alors α est une racine de multiplicité exactement m.
• Exemple : 2 est racine de multiplicité exactement 3 pour le polynôme donné dans le cours.
• Exemple : 0 est racine de multiplicité exactement 4 et 1 est une racine simple pour (X−2)^3(X−1)X^4.
• Théorème multiplicité/dérivées successives : α est racine de multiplicité ≥ m ssi P(α)=P'(α)=…=P^{(m−1)}(α)=0.
• α est de multiplicité exactement m ssi P(α)=P'(α)=…=P^{(m−1)}(α)=0 et P^{(m)}(α)≠0.
• Méthode pratique : on vérifie P(α)=0 puis on calcule P'(α), P''(α), … jusqu’à trouver la première dérivée non nulle P^{(p)}(α) ; alors p est la multiplicité.

💡 Astuce mémo

Racine→dérivées : multiplicité = nombre de zéros consécutifs des dérivées en α (jusqu’à la première non nulle).

📖 10. Décomposition en irréductibles dans K[X

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en irréductibles : Décomposition d’un polynôme non constant en un produit de polynômes irréductibles, avec unicité à l’ordre et près d’une constante multiplicative.
• Polynômes irréductibles unitaires : Irreductibles choisis avec coefficient dominant égal à 1, ce qui fixe la normalisation des facteurs dans la décomposition.
• Unicité à l’ordre et à une constante : Deux décompositions en irréductibles d’un même polynôme diffèrent seulement par la permutation des facteurs et par une constante multiplicative.
• Racines sixièmes de l’unité : Ensemble des nombres complexes $\omega$ tels que $\omega^6=1$, qui sont les racines de $X^6-1$ dans $\mathbb C[X]$.
• Conjugué d’une racine réelle : Si un polynôme à coefficients réels admet un complexe $\alpha$ comme racine, alors son conjugué $\overline{\alpha}$ est aussi une racine.

📝 Points essentiels

• Théorème : tout polynôme non constant de $K[X]$ s’écrit comme produit de polynômes irréductibles unitaires, deux à deux distincts, à puissances entières positives près.
• Écriture : pour $P\in K[X]\setminus\{\tilde 0\}$, il existe des irréductibles unitaires $P_1,\dots,P_n$ et des entiers $\alpha_i\ge1$ tels que $P=c\,\prod_{i=1}^n P_i^{\alpha_i}$.
• Exemple sur $\mathbb R[X]$ : $X^4-1=(X-1)(X+1)(X^2+1)$, avec $X^2+1$ irréductible dans $\mathbb R[X]$.
• Exemple sur $\mathbb C[X]$ : $X^3-3X^2+2X=X(X-1)(X-2)$ car les racines sont $0,1,2$.
• Exemple sur $\mathbb C[X]$ : $X^5+X^4+X^3=X^3(X-j)(X-j)$, où $j$ est une racine complexe donnée par le cours (et apparaît avec multiplicité).
• Exemple sur $\mathbb R[X]$ : $X^5+X^4+X^3=X^3(X^2+X+1)$, obtenu en regroupant les facteurs conjugués venant de $\mathbb C[X]$.

💡 Astuce mémo

DPI = produit d’irréductibles : irréductibles unitaires + unicité (ordre/constante) ; en réel, regrouper les conjugués via $(X-z)(X-\overline z)$.

📖 11. Irreductibles dans C[X] et R[X

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme irréductible : Un polynôme non constant est irréductible dans K[X] s’il ne peut pas s’écrire comme produit de deux polynômes non constants de K[X].
• Théorème d’irréductibilité dans C[X] : Dans C[X], les polynômes irréductibles sont exactement ceux de degré 1.
• Théorème d’irréductibilité dans R[X] : Dans R[X], les polynômes irréductibles sont ceux de degré 1 et ceux de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif.
• Discriminant d’un trinôme du second degré : Pour un polynôme de degré 2 à coefficients réels, le discriminant $\Delta$ détermine l’existence de racines réelles via son signe.
• Théorème de d’Alembert-Gauss : Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine complexe.

📝 Points essentiels

• Dans C[X], un polynôme irréductible doit avoir degré 1, et réciproquement tout polynôme de degré 1 est irréductible.
• Dans R[X], un polynôme irréductible de degré 2 est caractérisé par $\Delta<0$, donc sans racine réelle.
• Dans R[X], les polynômes de degré 1 sont toujours irréductibles (car ils ne peuvent pas se factoriser en deux facteurs non constants).
• L’implication « degré 1 ⇒ irréductible » dans C[X] se vérifie avec la définition d’irréductible et les propriétés du degré.
• La réciproque « irréductible ⇒ degré 1 » dans C[X] s’appuie sur d’Alembert-Gauss : tout polynôme non constant de C[X] a une racine dans C, ce qui force une factorisation si le degré est ≥2.
• Propriété pratique : si $P\in\mathbb{R}[X]$ et $\alpha\in\mathbb{C}$, alors $P(\alpha)=0$ implique $P(\overline{\alpha})=0$, car le conjugué d’une racine est aussi une racine pour les coefficients réels.

💡 Astuce mémo

C : irréductible ⇔ degré 1 ; R : irréductible ⇔ degré 1 ou degré 2 avec $\Delta<0$ (pas de racine réelle).

📖 12. Polynômes interpolateurs de Lagrange

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme scindé : Un polynôme est dit scindé dans un corps K si tous ses facteurs linéaires (donc toutes ses racines) appartiennent à K.
• Corps algébriquement clos : Un corps algébriquement clos est un corps où tout polynôme non constant à coefficients dans le corps admet au moins une racine dans ce corps.
• Principe du prolongement algébrique : Le principe du prolongement algébrique affirme qu’une égalité de polynômes sur un ensemble infini impose l’égalité des polynômes partout.
• Polynômes interpolateurs de Lagrange : Les polynômes interpolateurs de Lagrange construisent un unique polynôme de degré ≤ n prenant des valeurs prescrites en n+1 points distincts.
• Base de Lagrange : La base de Lagrange est l’ensemble des polynômes $L_k$ qui valent 1 en $\alpha_k$ et 0 en les autres $\alpha_j$.

📝 Points essentiels

• Un polynôme est scindé dans K si toutes ses racines sont dans K, sinon il ne l’est pas.
• $X^2-1$ est scindé dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$, tandis que $X^2+1$ est scindé dans $\mathbb C$ mais pas dans $\mathbb R$.
• Tout polynôme de $\mathbb C[X]$ est scindé dans $\mathbb C$, ce qui traduit que $\mathbb C$ est algébriquement clos.
• Dire que toute équation polynomiale complexe de degré ≥ 1 a une solution dans $\mathbb C$ revient à dire que $\mathbb C$ est algébriquement clos.
• Les polynômes interpolateurs de Lagrange reposent sur des polynômes $L_k$ qui sélectionnent une valeur en un point et annulent les autres.
• Pour des points distincts $\alpha_0,\dots,\alpha_n$, on utilise $L_k=\prod_{\substack{0\le j\le n\\ j\ne k}}\frac{X-\alpha_j}{\alpha_k-\alpha_j}$ pour obtenir l’interpolation.

💡 Astuce mémo

Scinde→Racines dans le corps ; Lagrange→« 1 au bon point, 0 aux autres » : $L_k(\alpha_k)=1$ et $L_k(\alpha_j)=0$ pour $j\ne k$. | Comparaison | Scindé | Algébriquement clos | |---|---|---| | Dépendance | racines dans K | existence d’au moins une racine pour tout polynôme non-ét

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des irréductibles dans C[X] et R[X]

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre polynôme nul et polynôme non nul : deg(0)=−∞ et le coefficient dominant n’est pas défini pour 0̃.
2. Croire que deg(P+Q)=max(deg(P),deg(Q)) sans condition : si deg(P)=deg(Q) et cd(P)+cd(Q)=0, alors le degré baisse.
3. Penser que P|Q équivaut à “reste nul” pour la division de P par Q : c’est l’inverse, on divise Q par P.
4. Oublier la normalisation du PGCD : le PGCD est défini comme polynôme unitaire Δ, donc il est unique à l’unité près (pas “n’importe quel” diviseur commun).
5. Se tromper sur le lien racine/facteur : α racine ⇔ (X−α) divise P, et le reste de la division euclidienne de P par (X−α) est nul.
6. Mélanger multiplicité et racine simple : multiplicité m signifie (X−α)^m divise P, et “exactement m” impose que (X−α)^{m+1} ne divise pas P.
7. En décomposition en irréductibles, oublier l’unicité “à l’ordre et à une constante multiplicative près”, ou oublier de travailler avec des facteurs irréductibles unitaires.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire un polynôme formel comme suite finie et identifier le polynôme nul 0K[X] (tous coefficients nuls).
2. Savoir calculer P+Q coefficient par coefficient dans K[X et reconnaître l’élément neutre pour l’addition.
3. Savoir utiliser les propriétés du degré : deg(PQ)=deg(P)+deg(Q) et deg(λP)=deg(P) pour λ∈K*.
4. Savoir appliquer le cas d’égalité pour deg(P+Q) : deg(P+Q)=max(deg(P),deg(Q)) sauf annulation du terme dominant via cd(P)+cd(Q)=0.
5. Savoir caractériser la divisibilité par la division euclidienne : P divise Q ssi le reste de la division de Q par P est nul.
6. Savoir définir “associés” et reconnaître l’équivalence : Q=λP avec λ∈K*.
7. Savoir définir le PGCD comme polynôme unitaire Δ tel que Div(P)∩Div(Q)=Div(Δ) et utiliser Bézout : PU+QV=PGCD(P,Q).
8. Savoir appliquer le lemme de Gauss et la conséquence : si P|QR et P∧Q=1 alors P|R, et si (X−α)|(P) et (X−β)|(P) avec α≠β alors (X−α)(X−β)|(P).
9. Savoir utiliser racines et factorisation : α racine ⇔ (X−α) divise P, et si α1,…,αn distinctes sont racines alors ∏(X−αi) divise P.
10. Savoir appliquer le principe du prolongement algébrique : deux polynômes coïncidant en n+1 points distincts de Kn[X] sont égaux.
11. Savoir calculer la dérivée formelle et utiliser la linéarité ; savoir que si deg(P)≥1 alors deg(P′)=deg(P)−1 et cd(P′)=deg(P)·cd(P).
12. Savoir utiliser Taylor dans K[X] : P=∑_{k=0}^{deg(P)} P(k)(α)/k!·(X−α)^k et en particulier Taylor en 0 pour relier coefficients et dérivées.
13. Savoir déterminer la multiplicité d’une racine α via P(α)=P′(α)=…=P^{(m−1)}(α)=0 puis P^{(m)}(α)≠0.
14. Savoir décomposer en irréductibles : existence/unicité à l’ordre et constante près, et connaître les irréductibles dans C[X] (degré 1) et dans R[X] (degré 1 ou degré 2 de discriminant strictement négatif).