QCM : Notions fondamentales sur les polynômes — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Dans quel cas le degré de la somme de deux polynômes de même degré est-il strictement plus petit que ce degré ?

Quand leurs coefficients dominants sont tous deux nuls
Quand leurs coefficients dominants ont une somme nulle
Quand leurs degrés sont différents
Quand l’un des deux polynômes est constant

Quand leurs coefficients dominants ont une somme nulle

Explication

Si deux polynômes ont le même degré, le degré de leur somme baisse exactement lorsque les coefficients dominants s’annulent. Si les degrés sont différents, le degré de la somme est simplement le maximum des deux.

2. Quel est le degré d’un polynôme non nul et son coefficient dominant ?

Le plus petit exposant non nul et le coefficient du terme constant
Le nombre de termes non nuls et le dernier coefficient écrit
Le plus grand exposant dont le coefficient est non nul et le coefficient de ce terme
La somme des exposants présents et la somme de tous les coefficients

Le plus grand exposant dont le coefficient est non nul et le coefficient de ce terme

Explication

Le degré d’un polynôme non nul est le plus grand exposant apparaissant avec un coefficient non nul, et le coefficient dominant est le coefficient du terme de plus haut degré. Le terme constant n’est dominant que si le polynôme est de degré 0.

3. Quelle forme prend la décomposition en irréductibles d’un polynôme non constant dans K[X] ?

Un produit de facteurs irréductibles seulement si le polynôme est scindé
Un produit de facteurs linéaires dans tout corps K
Une somme de facteurs irréductibles, unique sans condition
Un produit de facteurs irréductibles unitaires, unique à l’ordre et à une constante multiplicative près

Un produit de facteurs irréductibles unitaires, unique à l’ordre et à une constante multiplicative près

Explication

Tout polynôme non constant de K[X] se décompose en produit de polynômes irréductibles unitaires, avec des exposants entiers positifs. Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs et à une constante multiplicative près.

4. Quelle est la formule de Taylor d’un polynôme P en un point α ?

P=∑_{k=0}^{deg(P)} P^{(k)}(α) · X^k
P=∑_{k=0}^{deg(P)} P(α)/k! · (X−α)^k
P=∑_{k=0}^{deg(P)} P^{(k)}(0) · (X−α)^k
P=∑_{k=0}^{deg(P)} P^{(k)}(α)/k! · (X−α)^k

P=∑_{k=0}^{deg(P)} P^{(k)}(α)/k! · (X−α)^k

Explication

Dans K[X], un polynôme s’écrit comme une somme finie de ses dérivées successives évaluées en α, avec les facteurs k!. Cette écriture est exacte et ne comporte pas de reste.

5. Quelle propriété caractérise une racine α d’un polynôme P ?

On a P′(α)=0, ce qui équivaut à la divisibilité de P par X−α
On a P(α)=0, ce qui équivaut à la divisibilité de P par X−α
On a P(0)=α, ce qui équivaut à la divisibilité de P par X−α
On a deg(P)=α, ce qui équivaut à la divisibilité de P par X−α

On a P(α)=0, ce qui équivaut à la divisibilité de P par X−α

Explication

Une racine α vérifie P(α)=0, et cela équivaut au fait que X−α divise P. Le reste de la division de P par X−α est alors nul.

6. Quelle propriété exprime la linéarité de la dérivation formelle ?

(P+Q)′=P+Q
(λP+μQ)′=λP′+μQ′
(λP)′=P′ pour tout scalaire λ
(PQ)′=P′Q′

(λP+μQ)′=λP′+μQ′

Explication

La dérivation formelle est linéaire : elle respecte les combinaisons linéaires de polynômes. En revanche, la dérivée d’un produit ne s’écrit pas comme le produit des dérivées.

7. Quel est le principe fondamental des polynômes interpolateurs de Lagrange ?

Construire un polynôme de degré exactement n+1 à partir de n points quelconques
Construire une suite de fonctions continues passant par des points donnés
Construire un polynôme scindé ayant toutes ses racines imposées
Construire un unique polynôme de degré au plus n prenant des valeurs prescrites en n+1 points distincts

Construire un unique polynôme de degré au plus n prenant des valeurs prescrites en n+1 points distincts

Explication

L’interpolation de Lagrange permet de construire un unique polynôme de degré inférieur ou égal à n qui prend des valeurs données en n+1 points distincts. Les polynômes de base valent 1 au bon point et 0 aux autres.

8. Quelle forme prend l’identité de Bézout pour deux polynômes P et Q premiers entre eux ?

Il existe U et V tels que PU=QV
Il existe U et V tels que PU+QV=PGCD(P,Q) avec PGCD(P,Q) non défini
Il existe U et V tels que P=UQ et Q=VP
Il existe U et V tels que PU+QV=1

Il existe U et V tels que PU+QV=1

Explication

Deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement s’il existe U et V dans K[X] tels que PU+QV=1. C’est la forme de Bézout utilisée pour caractériser la coprimalité.

9. Comment caractérise-t-on la divisibilité d’un polynôme Q par un polynôme P dans K[X] ?

P divise Q si et seulement si le reste de la division euclidienne de P par Q est nul
P divise Q si et seulement si Q est un multiple constant de P
P divise Q si et seulement si leurs degrés sont égaux
P divise Q si et seulement si le reste de la division euclidienne de Q par P est nul

P divise Q si et seulement si le reste de la division euclidienne de Q par P est nul

Explication

La divisibilité se lit via la division euclidienne : P divise Q exactement lorsque le reste de la division de Q par P est nul. L’inverse proposé dans un distracteur est une confusion classique.

10. Quels sont les polynômes irréductibles dans C[X] ?

Les polynômes de degré 1
Les polynômes sans racine complexe
Les polynômes de degré 2 à discriminant négatif
Les polynômes constants non nuls

Les polynômes de degré 1

Explication

Dans C[X], les polynômes irréductibles sont exactement ceux de degré 1. Tout polynôme non constant de degré au moins 2 a une racine complexe et se factorise.

11. Que désigne l’ensemble K[X] dans le cadre des polynômes à coefficients dans un corps K ?

L’ensemble des suites finies de coefficients de K représentant des polynômes
L’ensemble des séries entières à coefficients dans K
L’ensemble des matrices carrées à coefficients dans K
L’ensemble des fonctions continues de K dans K

L’ensemble des suites finies de coefficients de K représentant des polynômes

Explication

K[X] est l’ensemble des polynômes en l’indéterminée X à coefficients dans K, autrement dit des suites de coefficients qui sont nulles à partir d’un certain rang. Les autres propositions décrivent d’autres objets mathématiques.

12. Comment reconnaît-on qu’un scalaire α est une racine de multiplicité exactement m d’un polynôme P ?

(X−α) divise P mais P′(α) est non nul
P(α)=0 et P′(α)=0 pour tout m
(X−α)^m divise P mais (X−α)^{m+1} ne divise pas P
(X−α)^{m+1} divise P mais pas (X−α)^m

(X−α)^m divise P mais (X−α)^{m+1} ne divise pas P

Explication

La multiplicité exacte m signifie que (X−α)^m divise P, mais que l’exposant m+1 ne convient pas. Cela correspond aussi au critère par les dérivées successives jusqu’à l’ordre m−1.

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Mémorisez les réponses avec 24 flashcards sur Notions fondamentales sur les polynômes.

Polynôme formel — définition ?

Suite finie d’éléments de K, devient nulle après un rang.

Espace K[X] — rôle ?

Ensemble des polynômes à coefficients dans K.

Notation P=∑ akX^k — signification ?

Polynôme avec coefficients a_k, degré n.

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