Notions fondamentales sur les polynômes

📋 Plan du Cours

1. Anneau des polynômes et notations
2. Degré et coefficient dominant
3. Degré d’une somme et cas d’égalité
4. Division euclidienne et divisibilité
5. PGCD et identité de Bezout
6. Racines et principe du prolongement algébrique
7. Dérivation formelle et linéarité
8. Formule de Taylor dans K[X
9. Racines multiples et multiplicité
10. Décomposition en irréductibles dans K[X
11. Irreductibles dans C[X] et R[X
12. Polynômes interpolateurs de Lagrange

📖 1. Anneau des polynômes et notations

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme formel : Un polynôme formel à coefficients dans un corps K est une suite d’éléments de K qui devient nulle à partir d’un certain rang.
• Espace K[X] : L’ensemble des polynômes en l’indéterminée X à coefficients dans K est noté K[X].
• Notation P=∑ akX^k : Un polynôme P de K[X] s’écrit en général sous la forme P=∑_{k=0}^n a_k X^k avec a_k∈K.
• Polynôme nul : Le polynôme nul est celui dont tous les coefficients sont nuls, noté 0_{K[X]} (ou parfois 0).
• Addition dans K[X] : L’addition de deux polynômes de K[X] se fait coefficient par coefficient, en additionnant les coefficients de même puissance.

📝 Points essentiels