Polynôme formel — définition ?
Suite finie d’éléments de K, devient nulle après un rang.
Espace K[X] — rôle ?
Ensemble des polynômes à coefficients dans K.
Notation P=∑ akX^k — signification ?
Polynôme avec coefficients a_k, degré n.
Polynôme nul — notation ?
0_{K[X]}, tous coefficients nuls.
Addition dans K[X] — mécanisme ?
Coefficient par coefficient, addition des coefficients.
Degré d’un polynôme — définition ?
Plus grand k avec a_k ≠ 0, sauf pour 0̃.
Convention deg(0) — valeur ?
−∞.
Coefficient dominant — rôle ?
Coefficient du terme de plus haut degré.
Degré d’un produit — règle ?
Sum of degrees of facteurs.
Degré de P+Q — formule ?
≤ max(deg(P),deg(Q)).
Cas deg(P)=deg(Q) — condition deg(P+Q) ?
= deg(P) sauf si cd(P)+cd(Q)=0.
Polynôme associé — signification ?
Diffèrent par une constante inversible.
Division euclidienne — résultat ?
A=BQ+R, avec deg(R)<deg(B).
PGCD — rôle ?
Plus grand diviseur commun, unique à une constante.
Identité de Bézout — expression ?
Existence U,V tels que PU+QV=PGCD(P,Q).
Racine d’un polynôme — définition ?
α tel que P(α)=0.
Facteur (X−α) — lien avec racine ?
α racine ⇔ (X−α) divise P.
Multiplicité d’une racine — définition ?
Max m tel que (X−α)^m divise P.
Racine simple — caractéristique ?
Multiplicité = 1.
Polynôme irréductible — dans C[X] ?
Degré 1 seulement.
Polynôme irréductible — dans R[X] ?
Degré 1 ou 2 avec Δ<0.
Décomposition en irréductibles — principe ?
Produit de irréductibles unitaires, unique à l’ordre et constante.
Polynôme scindé — définition ?
Facteur en produits de polynômes linéaires dans K.
Théorème d’irréductibilité dans C[X] — conclusion ?
Seuls degrés 1, tous polynômes de degré ≥2 sont réductibles.
Teste tes connaissances avec un QCM de 12 questions sur Notions fondamentales sur les polynômes.
1. Dans quel cas le degré de la somme de deux polynômes de même degré est-il strictement plus petit que ce degré ?
2. Quel est le degré d’un polynôme non nul et son coefficient dominant ?
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