Fiche de révision : Ondes de matière et mécanique quantique

📋 Plan du Cours

1. Hypothèse de de Broglie
2. Longueur d’onde et limite classique
3. Interférences à deux fentes
4. Fonction d’onde et interférences
5. Interprétation probabiliste de Born
6. Superposition et mesure
7. Paquets d’ondes et incertitude
8. Vitesse de groupe
9. Dispersion et étalement quantiques
10. Équation de Schrödinger libre
11. Potentiel et équation de Schrödinger
12. Conservation de la probabilité
13. États stationnaires
14. Opérateur impulsion et commutateurs
15. Observables et valeurs moyennes

📖 1. Hypothèse de de Broglie

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction d’onde : Fonction qui varie dans l’espace et le temps et qui décrit spatialement une particule matérielle en mécanique quantique.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une particule libre décrite par une onde plane harmonique, $\psi(\vec r,t)=Ae^{i(\vec k\cdot\vec r-\omega t)}$, avec $\vec p=\hbar\vec k$ et $E=\hbar\omega$.

Compléments

• En 1924, Louis de Broglie publie son mémoire de thèse, qui constitue un point de départ de la mécanique quantique.

💡 Astuce mémo

Dualité lumière onde-corpuscule → onde associée à toute particule

📖 2. Longueur d’onde et limite classique

★ À maîtriser

📐 Formule — La longueur d’onde de de Broglie d’une particule d’impulsion $\vec p$ vaut $\lambda=\frac{h}{\|\vec p\|}$.

📌 La mécanique classique est applicable lorsque la longueur d’onde de de Broglie typique vérifie $\lambda\ll d$, où $d$ représente les distances caractéristiques du système.

Compléments

📐 Formule — Dans un milieu à la température $T$, la longueur d’onde typique d’une particule est $\lambda=\frac{h}{\sqrt{2mk_BT}}$, à un facteur de proportionnalité d’ordre unité près.

• Pour un électron de l’atome d’hydrogène, l’énergie d’ionisation vaut 13,6 eV et la longueur d’onde associée est d’environ 0,3 nm, comparable à la taille atomique de 0,53 nm.

💡 Astuce mémo

λ ≪ d : classique ; λ comparable à d : quantique

📖 3. Interférences à deux fentes

📝 Points essentiels

• En 1927, l’expérience de Davidson et Germer confirme expérimentalement la nature ondulatoire de la matière par la diffraction d’électrons sur un cristal.

• Dans l’expérience à deux fentes, les électrons sont envoyés un par un vers deux fentes séparées d’une distance $a$, puis détectés dans un plan situé à la distance $D$.

📐 Formule — Dans le régime $D\gg a,x$, l’interfrange des électrons est $I=\frac{\lambda D}{a}$.

📌 Mesurer par quelle fente la particule est passée supprime la figure d’interférence.

💡 Astuce mémo

Impacts localisés → accumulation → franges

📖 4. Fonction d’onde et interférences

★ À maîtriser

📌 Les maxima d’interférence constructive apparaissent lorsque la différence de chemin vérifie $\delta=n\lambda$ avec $n\in\mathbb Z$.

📐 Formule — La fonction d’onde totale de deux contributions est $\psi=\psi_A+\psi_B$ et l’intensité observée vaut $I_{AB}=|\psi_A+\psi_B|^2$.

Compléments

📐 Formule — Pour deux fentes, la différence de chemin dans l’approximation $D\gg a,x$ est $\delta=\frac{ax}{D}$.

📖 5. Interprétation probabiliste de Born

★ À maîtriser

• La règle de Born affirme que la densité de probabilité de présence au point $\vec r$ est $|\psi(\vec r,t)|^2$.

📐 Formule — Une fonction d’onde normalisée vérifie $\int_V d^3r\,|\psi(\vec r,t)|^2=1$.

• La probabilité de trouver une particule dans le volume infinitésimal $d^3r$ autour de $\vec r$ vaut $|\psi(\vec r,t)|^2d^3r$.

Compléments

📐 Formule — En une dimension, la probabilité de trouver la particule dans $[x_1,x_2]$ vaut $P(x\in[x_1,x_2])=\int_{x_1}^{x_2}|\psi(x,t)|^2dx$.

📐 Formule — Pour une position unidimensionnelle, la valeur moyenne et l’écart type sont $\langle x^n\rangle=\int_a^b x^n|\psi(x,t)|^2dx$ et $\Delta x=\sqrt{\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2}$.

💡 Astuce mémo

Module carré de ψ → densité de probabilité → résultats aléatoires

📖 6. Superposition et mesure

★ À maîtriser

• Toute combinaison linéaire à coefficients indépendants du temps de fonctions d’onde possibles est également une fonction d’onde possible du système.

• Effectuer une mesure sur un système quantique modifie l’état dans lequel il se trouvait initialement.

• Une fonction d’onde est définie à un facteur de phase global près, car $\psi(\vec r,t)$ et $e^{i\theta}\psi(\vec r,t)$ représentent le même état physique lorsque $\theta$ est constant.

Compléments

📐 Formule — La superposition de deux ondes planes opposées de même amplitude donne $\psi(x,t)=2A\cos(kx)e^{-i\omega t}$ et une densité modulée dans l’espace.

💡 Astuce mémo

Superposition : amplitudes s’additionnent ; mesure : cohérence détruite

📖 7. Paquets d’ondes et incertitude

🔑 Notions clés & Définitions

• Paquet d’onde : Superposition d’ondes planes dont l’enveloppe décroît suffisamment vite pour rendre la fonction d’onde normalisable.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un paquet d’onde de largeur spectrale $\Delta k$, l’extension spatiale est de l’ordre de $\Delta x\sim\frac{\pi}{\Delta k}$.

📐 Formule — Le principe d’incertitude position-impulsion s’écrit qualitativement $\Delta p_x\Delta x\sim\hbar$. — Heisenberg

Compléments

📐 Formule — Un paquet d’onde unidimensionnel s’écrit comme une superposition continue $\psi(x,0)=\int_{-\infty}^{\infty}g(k)e^{ikx}dk$.

📐 Formule — Le lien entre nombre d’onde et impulsion donne une incertitude de vitesse d’ordre $\Delta v_x\sim\frac{\hbar\Delta k}{m}$.

• Pour un nucléon localisé sur une distance d’environ 1 fm, l’énergie cinétique estimée par le principe d’incertitude est d’environ 14 MeV.

📖 8. Vitesse de groupe

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse de groupe : Vitesse de déplacement de l’enveloppe d’un paquet d’onde et vaut $v_g=\left.\frac{d\omega}{dk}\right|_{k=k_0}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une particule libre, la vitesse de groupe coïncide avec la vitesse de la particule et la relation énergie-pulsation est $E=\hbar\omega$.

💡 Astuce mémo

Dispersion ω(k) → vitesse de groupe → déplacement du paquet

📖 9. Dispersion et étalement quantiques

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une particule libre non relativiste, la relation de dispersion est $\omega=\frac{\hbar k^2}{2m}$ et l’énergie vérifie $E=\hbar\omega$.

• L’étalement d’un paquet d’onde libre résulte du déplacement à des vitesses différentes des ondes planes qui le composent.

📐 Formule — Pour un paquet de largeur initiale a, le temps caractéristique d’étalement est $\tau\sim\frac{ma^2}{\hbar}$ et, pour $t\gg\tau$, sa dispersion spatiale vérifie $\Delta x(t)\sim\frac{\hbar t}{ma}$.

• Les inégalités de Heisenberg s’écrivent qualitativement $\Delta x\,\Delta p_x\gtrsim\hbar$ et $\Delta E\,\Delta t\gtrsim\hbar$.

Compléments

📌 La diffraction par une fente illustre qu’une localisation spatiale de largeur a entraîne une dispersion transverse du nombre d’onde vérifiant $\Delta k\sim\frac{1}{a}$.

💡 Astuce mémo

Dispersion non linéaire → vitesses différentes → étalement du paquet

📖 10. Équation de Schrödinger libre

📝 Points essentiels

📌 La linéarité de l’équation de Schrödinger libre permet à toute superposition d’ondes planes de décrire l’évolution d’une particule libre.

📖 11. Potentiel et équation de Schrödinger

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un potentiel unidimensionnel V(x), l’énergie locale vérifie $E=\frac{p(x)^2}{2m}+V(x)$, avec $p(x)=\sqrt{2m(E-V(x))}$ lorsque $E>V(x)$.

📌 L’approximation d’onde plane locale est valable si la longueur d’onde varie peu sur une distance caractéristique du potentiel, ce qui s’écrit notamment $\left|\frac{d\lambda(x)}{dx}\right|\ll1$.

📐 Formule — Pour une particule de masse m dans un potentiel extérieur V(⃗r), l’équation de Schrödinger est $i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V(\vec r)\psi$.

📌 L’équation de Schrödinger est linéaire, du premier ordre en temps, et sa solution est entièrement déterminée par la fonction d’onde initiale.

Compléments

📐 Formule — Le nombre d’onde et la longueur d’onde locaux sont $k(x)=\frac{\sqrt{2m(E-V(x))}}{\hbar}$ et $\lambda(x)=\frac{h}{\sqrt{2m(E-V(x))}}$.

💡 Astuce mémo

Énergie locale → impulsion locale → nombre d’onde local → équation

📖 12. Conservation de la probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité de probabilité : définie par $\rho=|\psi(\vec r,t)|^2$

★ À maîtriser

📐 Formule — La conservation locale de la probabilité s’écrit $\frac{\partial\rho}{\partial t}+\vec\nabla\cdot\vec j=0$.

📐 Formule — Le courant de probabilité est $\vec j=\frac{\hbar}{2mi}\left(\psi^*\vec\nabla\psi-\psi\vec\nabla\psi^*\right)$.

Compléments

📌 Dans un volume fini, la variation temporelle de la probabilité de présence est compensée par le flux du courant à travers la surface qui l’entoure.

💡 Astuce mémo

Divergence du courant → variation locale de probabilité

📖 13. États stationnaires

🔑 Notions clés & Définitions

• État stationnaire : état dont la fonction d’onde se sépare sous la forme $\psi(\vec r,t)=e^{-iEt/\hbar}\phi(\vec r)$, avec une énergie parfaitement définie E

★ À maîtriser

📐 Formule — La fonction propre d’énergie d’un état stationnaire vérifie $-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\phi(\vec r)+V(\vec r)\phi(\vec r)=E\phi(\vec r)$.

📌 Dans un état stationnaire, la densité de probabilité $\rho(\vec r)=|\phi(\vec r)|^2$ est indépendante du temps et le courant vérifie $\vec\nabla\cdot\vec j=0$.

Compléments

📐 Formule — Pour une onde plane d’impulsion ⃗p, le courant de probabilité est uniforme et vaut $\vec j=|A|^2\frac{\vec p}{m}=|A|^2\vec v_g$.

💡 Astuce mémo

Énergie fixée et densité constante, contrairement à un paquet évolutif

📖 14. Opérateur impulsion et commutateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Opérateur : une application qui associe à un état du système un nouvel état du système

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’opérateur impulsion est $\hat{\vec p}=-i\hbar\vec\nabla$, avec $\hat p_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ et des expressions analogues selon y et z.

📐 Formule — Les opérateurs position et impulsion vérifient $[\hat x,\hat p_x]=[\hat y,\hat p_y]=[\hat z,\hat p_z]=i\hbar$, tandis que les autres commutateurs indiqués dans le cours sont nuls.

💡 Astuce mémo

Position multiplie, impulsion dérive ; leurs composantes conjuguées ne commutent pas

📖 15. Observables et valeurs moyennes

★ À maîtriser

📌 Selon le principe de correspondance, une grandeur classique O(⃗r,⃗p) est associée à un opérateur obtenu en remplaçant position et impulsion par leurs opérateurs, avec symétrisation lorsque les facteurs ne commutent pas.

📐 Formule — L’hamiltonien d’une particule dans un potentiel est $\hat H=\frac{\hat{\vec p}^{\,2}}{2m}+V(\hat x)$ et il vérifie $\hat H\psi=i\hbar\partial_t\psi$.

📐 Formule — La valeur moyenne d’une observable pour un système décrit par ψ est $\langle\hat O\rangle=\int d^3r\,\psi^*(\vec r,t)\hat O\psi(\vec r,t)$.

Compléments

📐 Formule — Le moment cinétique orbital suivant z s’écrit $\hat L_z=\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\varphi}$.

📌 Dans un état stationnaire, la valeur moyenne de toute observable est indépendante du temps.

📊 Tableaux de synthèse

Particule matérielle et photon