Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et formes du trinôme
2. Racines et forme factorisée
3. Discriminant et forme canonique
4. Parabole et variations
5. Résolution des équations
6. Signe et inéquations
7. Origines historiques de l’algèbre

📖 1. Définition et formes du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont des réels avec $a\ne0$.

📝 Points essentiels

• L'expression $ax^2+bx+c$ est appelée la forme développée du trinôme.

• Pour $f(x)=2x^2-5x-3$, les coefficients sont $a=2$, $b=-5$ et $c=-3$.

📖 2. Racines et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : Nombre réel x₀ tel que $f(x₀)=0$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si les racines sont x₁ et x₂, la forme factorisée du trinôme est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📐 Formule — Lorsque les racines x₁ et x₂ existent, leur somme vérifie $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et leur produit vérifie $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Un trinôme du second degré admet au plus deux racines réelles.

💡 Astuce mémo

Racines trouvées → forme factorisée

📖 3. Discriminant et forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Nombre réel $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La forme canonique d'un trinôme est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$.

Compléments

• La fonction $f(x)=2x^2-8x+6$ s'écrit sous forme factorisée $f(x)=2(x-1)(x-3)$ et sous forme canonique $f(x)=2(x-2)^2-2$.

📖 4. Parabole et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré dans un repère.

📝 Points essentiels

• La parabole d'équation $y=ax^2+bx+c$ a pour axe de symétrie la droite $x=\alpha$ et pour sommet le point $S(\alpha;\beta)$.

📌 Si $a>0$, la fonction décroît jusqu'à $x=\alpha$ puis croît ; si $a<0$, elle croît jusqu'à $x=\alpha$ puis décroît.

💡 Astuce mémo

a>0 : parabole ouverte vers le haut ; a<0 : parabole ouverte vers le bas

📖 5. Résolution des équations

📝 Points essentiels

• La résolution de $ax^2+bx+c=0$ se fait en calculant $\Delta=b^2-4ac$, puis en choisissant le cas correspondant au signe de Δ.

📐 Formule — Si $\Delta>0$, l'équation admet deux solutions distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📐 Formule — Si $\Delta=0$, l'équation admet une unique solution, appelée racine double, égale à $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📌 Si $\Delta<0$, l'équation n'admet aucune solution réelle.

💡 Astuce mémo

Δ>0 : deux solutions ; Δ=0 : une solution ; Δ<0 : aucune

📖 6. Signe et inéquations

★ À maîtriser

• Si $\Delta>0$, le trinôme est du signe de a à l'extérieur de ses deux racines et du signe de −a entre elles.

• Si $\Delta=0$, le trinôme est du signe de a sur ℝ et s'annule uniquement en sa racine double.

• Si $\Delta<0$, le trinôme est toujours du signe de a sur ℝ.

Compléments

📐 Formule — Lorsque $\Delta>0$, le trinôme se factorise en $a(x-x_1)(x-x_2)$ ; lorsque $\Delta=0$, il se factorise en $a(x-x_0)^2$ ; lorsque $\Delta<0$, il ne se factorise pas sur ℝ.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur des racines : signe de a ; à l’intérieur : signe opposé

📖 7. Origines historiques de l’algèbre

📝 Points essentiels

• Au IXe siècle, à Bagdad, le calife Al-Maûn réunissait des savants qui rassemblaient les connaissances de leur époque.

• Mohammed ibn Musa al Khawarizmi, qui a vécu de 780 à 850, a écrit un ouvrage sur la résolution des équations du second degré et est à l'origine des mots algèbre et algorithme.

• Al Khawarizmi était originaire d'une ville d'Ouzbékistan située dans la province du Khwarizm. — Mohammed ibn Musa al Khawarizmi, 780-850

📊 Tableaux de synthèse

Nombre de solutions selon le discriminant