Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et formes du trinôme
2. Racines et forme factorisée
3. Discriminant et forme canonique
4. Parabole et variations
5. Résolution des équations
6. Signe et inéquations

📖 1. Définition et formes du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

• L’expression $ax^2+bx+c$ est appelée la forme développée du trinôme.

• Dans $f(x)=2x^2-5x-3$, les coefficients sont $a=2$, $b=-5$ et $c=-3$.

📖 2. Racines et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : Nombre réel x₀ tel que $f(x₀)=0$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsque les racines x₁ et x₂ existent, leur somme vérifie $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et leur produit vérifie $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

📌 Un trinôme du second degré possède au plus deux racines et peut ne pas avoir de forme factorisée réelle s’il n’a aucune racine réelle.

💡 Astuce mémo

Racine : f(x)=0 ; forme factorisée : a(x−x₁)(x−x₂)

📖 3. Discriminant et forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Nombre réel $\Delta=b^2-4ac$ associé au trinôme $ax^2+bx+c$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Tout trinôme peut s’écrire sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$.

Compléments

• L’exemple introducteur $f(x)=2x^2-8x+6$ s’écrit sous forme factorisée $2(x-1)(x-3)$ et sous forme canonique $2(x-2)^2-2$.

📖 4. Parabole et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré dans un repère.

📝 Points essentiels

📌 La parabole d’équation $y=ax^2+bx+c$ a pour axe de symétrie la droite $x=\alpha$ et pour sommet le point $S(\alpha;\beta)$.

📌 Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et la fonction admet un minimum ; si $a<0$, elle est tournée vers le bas et la fonction admet un maximum.

💡 Astuce mémo

a>0 : parabole tournée vers le haut ; a<0 : parabole tournée vers le bas

📖 5. Résolution des équations

📝 Points essentiels

• La résolution de $ax^2+bx+c=0$ consiste à calculer $\Delta=b^2-4ac$, puis à appliquer le cas correspondant au signe de Δ.

📐 Formule — Si $\Delta>0$, l’équation possède deux solutions distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📐 Formule — Si $\Delta=0$, l’équation possède une unique solution, appelée racine double, donnée par $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’admet aucune solution réelle.

💡 Astuce mémo

Δ>0 : deux solutions ; Δ=0 : une solution ; Δ<0 : aucune solution

📖 6. Signe et inéquations

★ À maîtriser

• Si $\Delta>0$, le trinôme est du signe de a à l’extérieur de ses deux racines et du signe de −a entre elles.

• Si $\Delta=0$, le trinôme est du signe de a sur ℝ et s’annule uniquement en sa racine double.

• Si $\Delta<0$, le trinôme est toujours du signe de a sur ℝ.

Compléments

• 🔄 La résolution d’une inéquation suit cet ordre:
  1. Calculer le discriminant
  2. Déterminer les racines éventuelles
  3. Construire le tableau de signes
  4. Sélectionner les intervalles adaptés à l’inégalité

💡 Astuce mémo

Le signe de Δ détermine les racines, puis les intervalles de signe du trinôme

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant