QCM : Fonctions polynômes du second degré — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur R\mathbb{R} ?

f(x)=2x−5f(x)=2x-5, avec un coefficient de x2x^2 nul
f(x)=1x+4f(x)=\frac{1}{x}+4, définie lorsque x≠0x\ne0
f(x)=x+1f(x)=\sqrt{x}+1, définie pour x≥0x\geq0
f(x)=3x2−2x+1f(x)=3x^2-2x+1, avec un coefficient de x2x^2 non nul

$$f(x)=3x^2-2x+1$$, avec un coefficient de $$x^2$$ non nul

Explication

Un trinôme est une fonction définie sur R\mathbb{R} de la forme ax2+bx+cax^2+bx+c avec a≠0a\ne0. Une fonction affine, rationnelle ou comportant une racine carrée ne respecte pas cette définition.

2. Comment appelle-t-on l’écriture ax2+bx+cax^2+bx+c d’un trinôme ?

La forme réduite
La forme factorisée
La forme développée
La forme canonique

La forme développée

Explication

L’écriture ax2+bx+cax^2+bx+c est appelée la forme développée du trinôme. La forme factorisée fait apparaître des facteurs, tandis que la forme canonique s’écrit a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta.

3. Quel nombre est une racine d’un trinôme ff ?

Un nombre réel x0x_0 tel que f(x0)=0f(x_0)=0
Un nombre réel x0x_0 tel que f(x0)=1f(x_0)=1
Le produit des trois coefficients du trinôme
Le coefficient du terme en x2x^2

Un nombre réel $$x_0$$ tel que $$f(x_0)=0$$

Explication

Une racine est un nombre réel dont l’image par la fonction est nulle, c’est-à-dire un nombre x0x_0 vérifiant f(x0)=0f(x_0)=0. La valeur f(x0)=1f(x_0)=1 ne caractérise pas une racine, et les coefficients ne sont pas nécessairement des racines.

4. Pour un trinôme dont les racines réelles sont x1x_1 et x2x_2, quelles relations sont correctes ?

x1+x2=bax_1+x_2=\frac{b}{a} et x1x2=−cax_1x_2=-\frac{c}{a}
x1+x2=cax_1+x_2=\frac{c}{a} et x1x2=−bax_1x_2=-\frac{b}{a}
x1+x2=−bax_1+x_2=-\frac{b}{a} et x1x2=cax_1x_2=\frac{c}{a}
x1+x2=−cax_1+x_2=-\frac{c}{a} et x1x2=bax_1x_2=\frac{b}{a}

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ et $$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Explication

La somme des racines vaut −ba-\frac{b}{a} et leur produit vaut ca\frac{c}{a}. La confusion fréquente consiste à échanger les expressions de la somme et du produit ou à oublier le signe négatif de la somme.

5. Quelle expression définit le discriminant du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c ?

Δ=b2−4ac2a\Delta=\frac{b^2-4ac}{2a}
Δ=2b−4ac\Delta=2b-4ac
Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac
Δ=b2+4ac\Delta=b^2+4ac

$$\Delta=b^2-4ac$$

Explication

Le discriminant est le nombre réel Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac. Les paramètres α\alpha et β\beta interviennent dans la forme canonique, mais ils ne définissent pas le discriminant.

6. Quelle est la forme canonique d’un trinôme ax2+bx+cax^2+bx+c ?

f(x)=a(x+α)2−βf(x)=a(x+\alpha)^2-\beta, avec α=b2a\alpha=\frac{b}{2a} et β=Δ4a\beta=\frac{\Delta}{4a}
f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac
f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2), avec x1x_1 et x2x_2 les racines
f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, avec α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=−Δ4a\beta=-\frac{\Delta}{4a}

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$, avec $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=-\frac{\Delta}{4a}$$

Explication

Tout trinôme s’écrit sous la forme canonique a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta, où α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=−Δ4a\beta=-\frac{\Delta}{4a}. L’écriture a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2) est une forme factorisée qui fait apparaître les racines.

7. Quelle est la nature de la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré dans un repère ?

Une droite
Un cercle
Une hyperbole
Une parabole

Une parabole

Explication

Une fonction polynôme du second degré est représentée par une parabole dans un repère. Une forme développée, factorisée ou canonique décrit la même fonction sans modifier la nature de sa courbe.

8. Pour une parabole d’équation y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c, quelle affirmation distingue correctement l’axe de symétrie et le sommet ?

L’axe est la droite x=αx=\alpha et le sommet est le point S(α;β)S(\alpha;\beta).
L’axe est la droite x=βx=\beta et le sommet est le point S(0;α)S(0;\alpha).
L’axe est la droite y=βy=\beta et le sommet est le point S(α;0)S(\alpha;0).
L’axe est le point S(α;β)S(\alpha;\beta) et le sommet est la droite x=αx=\alpha.

L’axe est la droite $$x=\alpha$$ et le sommet est le point $$S(\alpha;\beta)$$.

Explication

L’axe de symétrie est une droite verticale d’équation x=αx=\alpha, tandis que le sommet est le point de coordonnées S(α;β)S(\alpha;\beta). Confondre ces deux objets revient à attribuer à un point la nature d’une droite.

9. Que peut-on déduire de la valeur du coefficient aa concernant les variations d’une fonction du second degré ?

Si a>0a>0, la fonction admet un maximum ; si a<0a<0, elle admet un minimum.
Si a>0a>0, la fonction est constante ; si a<0a<0, elle est affine.
Si a>0a>0, la fonction n’a pas d’extrémum ; si a<0a<0, elle est toujours croissante.
Si a>0a>0, la fonction admet un minimum ; si a<0a<0, elle admet un maximum.

Si $$a>0$$, la fonction admet un minimum ; si $$a<0$$, elle admet un maximum.

Explication

Lorsque a>0a>0, la parabole est tournée vers le haut et son sommet correspond à un minimum. Lorsque a<0a<0, elle est tournée vers le bas et son sommet correspond à un maximum.

10. Quelle démarche permet de résoudre l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 avec a≠0a\ne0 ?

Calculer le sommet de la parabole, puis poser directement x=βx=\beta.
Factoriser systématiquement le trinôme, puis retenir la racine la plus grande.
Calculer Δ=b2+4ac\Delta=b^2+4ac, puis choisir une solution selon le signe de aa.
Calculer Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, puis appliquer le cas correspondant à son signe.

Calculer $$\Delta=b^2-4ac$$, puis appliquer le cas correspondant à son signe.

Explication

La résolution commence par le calcul du discriminant Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, dont le signe détermine le nombre de solutions et la méthode à utiliser. Le sommet décrit les variations de la parabole, mais ne remplace pas l’étude du discriminant.

11. Combien de solutions réelles distinctes possède l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 lorsque Δ>0\Delta>0 ?

Deux solutions distinctes, données par les formules avec Δ\sqrt{\Delta}.
Aucune solution réelle, car le discriminant est négatif.
Une solution réelle, donnée par −b2a-\frac{b}{2a}.
Une solution double, donnée par −b+Δ2a\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

Deux solutions distinctes, données par les formules avec $$\sqrt{\Delta}$$.

Explication

Lorsque Δ>0\Delta>0, les deux valeurs −b−Δ2a\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et −b+Δ2a\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} sont réelles et distinctes. La formule −b2a-\frac{b}{2a} correspond au cas Δ=0\Delta=0, celui de la racine double.

12. Quelle est la solution de ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 lorsque Δ=0\Delta=0 ?

Les deux solutions distinctes x1=−b−Δ2ax_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x2=−b+Δ2ax_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
Aucune solution réelle, puisque le discriminant ne permet pas de calculer une racine.
L’unique solution x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}, qui est une racine double.
La solution x0=b2ax_0=\frac{b}{2a}, qui correspond au sommet de la parabole.

L’unique solution $$x_0=-\frac{b}{2a}$$, qui est une racine double.

Explication

Pour Δ=0\Delta=0, les deux racines se confondent en une unique racine double x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}. Les deux solutions distinctes apparaissent lorsque Δ>0\Delta>0, et non lorsque le discriminant est nul.

13. Que peut-on conclure pour l’équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 lorsque Δ<0\Delta<0 ?

Elle admet une solution réelle égale à −b2a-\frac{b}{2a}.
Elle admet deux solutions réelles distinctes.
Elle admet une unique racine double réelle.
Elle n’admet aucune solution réelle.

Elle n’admet aucune solution réelle.

Explication

Un discriminant négatif signifie que l’équation ne possède aucune solution dans l’ensemble des réels. La racine double est associée à Δ=0\Delta=0, tandis que deux racines distinctes correspondent à Δ>0\Delta>0.

14. Lorsque Δ>0\Delta>0, comment se répartit le signe d’un trinôme par rapport à ses deux racines ?

Il conserve le signe de aa sur toute la droite réelle, avec une annulation entre les racines.
Il a le signe de aa à l’extérieur des racines et celui de −a-a entre elles.
Il change de signe à l’extérieur des racines et conserve le signe de aa entre elles.
Il a le signe de −a-a à l’extérieur des racines et celui de aa entre elles.

Il a le signe de $$a$$ à l’extérieur des racines et celui de $$-a$$ entre elles.

Explication

Avec deux racines réelles distinctes, le trinôme prend le signe de aa sur les intervalles extérieurs et le signe opposé entre les racines. La présence de deux racines entraîne donc un changement de signe dans l’intervalle qui les sépare.

15. Quel est le signe d’un trinôme lorsque Δ=0\Delta=0 ?

Il change de signe de part et d’autre de sa racine double.
Il a le signe de −a-a sur R\mathbb{R} et s’annule à deux racines distinctes.
Il a le signe de aa sur R\mathbb{R} et s’annule à sa racine double.
Il n’a pas de signe déterminé sur R\mathbb{R}, car sa racine est double.

Il a le signe de $$a$$ sur $$\mathbb{R}$$ et s’annule à sa racine double.

Explication

Lorsque Δ=0\Delta=0, le trinôme garde le signe de aa sur la droite réelle et vaut zéro en sa racine double. Il ne change donc pas de signe, contrairement au cas où Δ>0\Delta>0.

16. Quelle méthode suit-on pour résoudre une inéquation du second degré ?

Repérer le coefficient dominant, puis choisir directement les intervalles sans étudier les racines.
Calculer le discriminant, trouver les racines éventuelles, dresser le tableau de signes et sélectionner les intervalles adaptés.
Développer l’expression, supprimer le terme constant et résoudre l’équation affine restante.
Calculer le sommet, comparer son ordonnée à zéro et retenir l’abscisse obtenue comme solution.

Calculer le discriminant, trouver les racines éventuelles, dresser le tableau de signes et sélectionner les intervalles adaptés.

Explication

La résolution repose sur l’étude du discriminant, des racines éventuelles et du tableau de signes, puis sur la sélection des intervalles satisfaisant l’inégalité. Le discriminant prépare l’étude en déterminant les racines possibles, tandis que le tableau de signes permet de choisir les solutions.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 32 flashcards sur Fonctions polynômes du second degré.

Qu'est-ce qu'une fonction polynôme du second degré ?

C'est une fonction définie par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\ne0.

Comment s'appelle l'expression ax2+bx+cax^2+bx+c ?

C'est la forme développée du trinôme.

Quels sont les coefficients dans f(x)=2x2−5x−3f(x)=2x^2-5x-3 ?

Ils sont a=2a=2, b=−5b=-5 et c=−3c=-3.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Fonctions polynômes du second degré.

Voir la fiche →

Cours similaires

Ondes électromagnétiques et structure atomique

Physique

Notion de santé individuelle et collective

Fonctions polynômes du second degré

Mathématiques

Ondes de matière et mécanique quantique

Physique

Symboles chimiques des éléments

Chimie

Histoire des débuts de l’aviation

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM