Fiche de révision : Optique géométrique

📋 Plan du Cours

1. Propagation et réflexion totale
2. Optique paraxiale et Gauss
3. Lentilles minces et foyers
4. Lunette, œil et loupe
5. Méthodes de focométrie

📖 1. Propagation et réflexion totale

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice de réfraction : est défini par $n = \frac{c}{v} \ge 1$, où $c \approx 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}$ est la célérité de la lumière dans le vide et $v$ sa célérité dans le milieu.

★ À maîtriser

• Selon le principe de Fermat, la lumière suit un chemin d’optique extrémal, correspondant en pratique au trajet de durée minimale.

📐 Formule — Les lois de Snell-Descartes imposent que les rayons réfléchi et réfracté appartiennent au plan d’incidence, que $i'_1=-i_1$ pour la réflexion et que $n_1\sin(i_1)=n_2\sin(i_2)$ pour la réfraction.

📐 Formule — Pour $n_1>n_2$, l’angle limite vérifie $i_c=\arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$ et la réflexion totale apparaît lorsque $i_1>i_c$, sans rayon transmis et avec $100\%$ de l’énergie réfléchie.

Compléments

📐 Formule — Pour une fibre optique à saut d’indice, l’ouverture numérique vérifie $\mathrm{ON}=\sin(\theta_{e,\max})=\sqrt{n_c^2-n_g^2}$ dans l’air d’indice $n_0=1$.

💡 Astuce mémo

Indice élevé → réfraction plus forte → réflexion totale si l’angle dépasse l’angle limite

📖 2. Optique paraxiale et Gauss

🔑 Notions clés & Définitions

• Stigmatisme rigoureux : signifie que tout rayon issu d’un point objet A converge exactement en un point image A′.

★ À maîtriser

📌 Les conditions de Gauss imposent d’utiliser des rayons peu inclinés par rapport à l’axe optique et proches de cet axe.

📐 Formule — Dans les conditions de Gauss, les approximations des petits angles sont $\sin(\theta)\approx\theta$, $\tan(\theta)\approx\theta$ et $\cos(\theta)\approx1$.

Compléments

📌 Le miroir plan est le seul système rigoureusement stigmatique pour tout point.

💡 Astuce mémo

Rayons paraxiaux et proches de l’axe : stigmatisme seulement approché

📖 3. Lentilles minces et foyers

🔑 Notions clés & Définitions

• Vergence : est $V=\frac{1}{f'}$ et s’exprime en dioptries, notées $\delta$ ou $\text{m}^{-1}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Avec l’origine au centre optique O, la relation de conjugaison d’une lentille mince est $\frac{1}{\overline{OA'}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f'}=V$.

📐 Formule — Avec l’origine au centre optique O, le grandissement vaut $\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$.

📐 Formule — Avec les origines aux foyers F et F′, la relation de Newton est $\overline{FA}\cdot\overline{F'A'}=-f'^2$ et le grandissement vaut $\gamma=-\frac{f'}{\overline{FA}}=-\frac{\overline{F'A'}}{f'}$.

Compléments

📐 Formule — Un faisceau incident parallèle et incliné d’un angle θ converge au foyer secondaire image F′i, situé selon $\overline{F'F'_i}=f'\tan(\theta)\approx f'\theta$.

💡 Astuce mémo

Origine O : Descartes ; origines F et F′ : Newton

📖 4. Lunette, œil et loupe

★ À maîtriser

📌 Une lunette astronomique afocale est constituée d’un objectif convergent de grande focale et d’un oculaire convergent de courte focale, avec coïncidence du foyer image F′1 de l’objectif et du foyer objet F2 de l’oculaire.

📐 Formule — La condition d’afocalité d’une lunette est $\overline{O_1O_2}=f'_1+f'_2$.

📐 Formule — Le grossissement angulaire d’une lunette astronomique est $G=\frac{\theta'}{\theta}=-\frac{f'_1}{f'_2}$, et le signe négatif indique que l’image est renversée.

• Le punctum remotum est le point le plus éloigné visible sans accommodation et il est situé à l’infini pour un œil normal, tandis que le punctum proximum est le point le plus proche visible avec accommodation maximale, à environ $25\ \text{cm}$.

📌 Une loupe est une lentille convergente utilisée avec un objet placé entre F et O, ce qui produit une image virtuelle, droite et agrandie.

Compléments

• L’œil réduit est modélisé par une lentille à distance focale variable par accommodation, qui projette l’image sur une rétine fixe située à environ $15\ \text{mm}$.

📐 Formule — Le grossissement commercial d’une loupe est $G_c=\frac{d_{PP}}{f'}=\frac{0{,}25}{f'}$.

💡 Astuce mémo

Objectif → foyer commun → oculaire → œil

📖 5. Méthodes de focométrie

📝 Points essentiels

• En autocollimation, on place un miroir plan derrière la lentille, on déplace l’ensemble devant un objet A, puis on repère la position où l’image A′ se forme nettement dans le plan de A ; la distance lentille-objet vaut alors $\overline{OA}=-f'$.

📐 Formule — Dans la méthode de Silbermann, lorsque l’image sur l’écran est de même taille que l’objet mais renversée, le grandissement vaut $\gamma=-1$, la distance objet-écran vaut $D=4f'$ et les positions vérifient $\overline{OA}=-2f'$ et $\overline{OA'}=+2f'$.

📌 Dans la méthode de Bessel, pour une distance objet-écran fixée vérifiant $D>4f'$, deux positions de la lentille donnent une image nette.

📐 Formule — Dans la méthode de Bessel, si d est la distance entre les deux positions nettes de la lentille, la focale vaut $f'=\frac{D^2-d^2}{4D}$.

💡 Astuce mémo

ASB : Autocollimation, Silbermann, Bessel

📊 Tableaux de synthèse

Méthodes de mesure de la focale