Fiche de révision : Théorème de Pythagore

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire du triangle rectangle
2. Carrés parfaits et racines carrées
3. Énoncé du théorème de Pythagore
4. Démonstration par les aires
5. Applications du théorème
6. Réciproque de Pythagore

📖 1. Vocabulaire du triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse : le côté opposé à l’angle droit
• Côtés adjacents d’un angle droit : les deux côtés qui forment cet angle droit

💡 Astuce mémo

Hypoténuse = côté opposé ; côtés adjacents = côtés qui forment l’angle droit

📖 2. Carrés parfaits et racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Carré parfait : le carré d’un autre entier naturel
• Racine carrée : le nombre positif dont le carré est a, et elle se note √a

📝 Points essentiels

• Les premiers carrés parfaits strictement positifs sont 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 et 144.

• La racine carrée de 81 est 9, car 9² = 81.

💡 Astuce mémo

Carré parfait → racine carrée entière

📖 3. Énoncé du théorème de Pythagore

★ À maîtriser

📐 Formule — Si le triangle ABC est rectangle en C, alors $AB^2 = AC^2 + BC^2$.

Compléments

• Dans un triangle rectangle en C dont les deux côtés adjacents mesurent 6 et 8, le carré de l’hypoténuse vaut 100.

💡 Astuce mémo

H² = C₁² + C₂²

📖 4. Démonstration par les aires

📝 Points essentiels

• La démonstration par les aires construit quatre triangles rectangles identiques dans un carré de côté a + b, puis compare la surface restante avec deux carrés de côtés a et b pour obtenir a² + b² = c².

💡 Astuce mémo

Construire → déplacer → comparer les aires

📖 5. Applications du théorème

★ À maîtriser

• Pour déterminer un côté d’un triangle rectangle, on applique le théorème de Pythagore, on isole le carré du côté recherché, puis on calcule la racine carrée de la valeur obtenue.

📌 Pour montrer qu’un triangle n’est pas rectangle, on compare le carré du plus long côté à la somme des carrés des deux autres côtés ; si l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée, le triangle n’est pas rectangle.

Compléments

• Si AC² = 10² − 8² = 36, alors AC = √36 = 6 cm.

• Lorsque la valeur obtenue n’est pas un carré parfait, comme BC² = 5, on donne une valeur approchée : BC = √5 ≈ 2,24 cm.

• Pour un triangle de côtés 6, 7 et 8, on obtient 8² = 64 et 6² + 7² = 85 ; comme 64 ≠ 85, le triangle n’est pas rectangle.

💡 Astuce mémo

Calculer un côté → extraire la racine → conclure

📖 6. Réciproque de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Réciproque du théorème de Pythagore : Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus long côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et le plus long côté est son hypoténuse.

📝 Points essentiels

• Pour un triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5, on a 5² = 25 et 3² + 4² = 25 ; la réciproque de Pythagore permet donc de conclure que le triangle est rectangle.

💡 Astuce mémo

Pythagore : triangle rectangle ⇒ égalité ; réciproque : égalité ⇒ triangle rectangle

📊 Tableaux de synthèse

Théorème et réciproque